Статистичні задачі теорії чисел - Автореферат

Статистичні задачі теорії чиселЦей метод виникнув на початку XX століття в роботах Харді та Літлвуда, в яких вони застосовували оцінки деяких тригонометричних сум при вирішенні питання про можливість представлення натурального числа N у вигляді суми однакових степеней натуральних чисел , та визначанні такого найменшого , для якого кожне натуральне число допускає таке представлення (проблема Варінга). Виноградовим (він довів, що кожне достатньо велике N допускає таке представлення), зокрема, при виникла проблема про найменше число кубів в представленні N у вигляді суми кубів. Вієферіх довів, що кожне натуральне - є сумою, саме більше, девяти кубів, та є натуральні числа, які не можна представити у вигляді суми восьми кубів. Та хоча відомі числа, які мають більше ніж одне представлення, але як показав Крістофель Хуллі кількість чисел, які мають більше одного представлення, є від кількості чисел, які допускають хоча б одне представлення у вигляді суми трьох кубів. Так, теорія побудови асимптотичних формул для задач, які досліджують розподіл цілих точок в заданих областях k - вимірного арифметичного простору, стала називатися статистичною теорією чисел, а основними методами розвязання задач статистичної теорії чисел є метод тригонометричних сум та метод гармонійного аналізу.Перший розділ дисертації містить основні результати з асимптотичних оцінок кількості цілих точок в області . В параграфі 1.1 викладається метод гармонійного аналізу для лічби цілих точок в областях. В пункті 1.1.3 доводиться асимптотична формула, яка є аналогом класичної тотожності Вороного для залишкового члена в задачі круга. Основний результат цього параграфу: Теорема 2.2. Нехай . Тоді має місце асимптотична формула: , де - кількість розвязків конгруенції , , під умовою 0 ? х ? Т1, 0 ? у ? Т2.В дисертаційній роботі знайдені нові підходи дослідження розподілу точок з цілими координатами та з умовою конгруенції в областях на площині, побудовані нетривіальні асимптотичні формули для суматорної функції, асоційованої з кількістю зображень натурального n сумою трьох кубів в арифметичній прогресії та для суматорної функції кількості цілих точок з умовою конгруенції в овалах. Вивчення розподілу цілих точок в областях з умовою конгруенції важливе не тільки для статистичної теорії чисел, але і для її застосувань, і, насамперед, для дослідження відповідних дзета-подібних функцій в смузі 0 <Re s <1. Мордела для вивчення розподілу розвязків конгруенції в неповних системах лишків, зокрема, знайдена асимптотична оцінка кількості розвязків конгруенції просте гаусове, фіксовані цілі гаусови числа. Методика досліджень, яка розвинута в поданій роботі, а також отримані результати можуть бути використані в асимптотичних задачах аналітичної теорії чисел, а також у прикладних дослідженнях, що повязані з геометрією чисел. Неполные системы вычетов в кольце целых гауссовых чисел // Придніпровський науковий вісник, Серія: технічні науки.

Основний зміст