Способы нахождения корней линейных и квадратичных многочленов - Курсовая работа

Поиски формулы для точного решения общего уравнения третьей степени продолжались долгое время (следует упомянуть метод, предложенный Омаром Хайямом), пока не увенчались успехом в первой половине XVI века в трудах Сципиона дель Ферро, Никколо Тарталья и Джероламо Кардано. Формулы для корней квадратных и кубических уравнений позволили сравнительно легко получить формулы для корней уравнения четвертой степени. То, что корни общего уравнения пятой степени и выше не выражаются при помощи рациональных функций и радикалов от коэффициентов было доказано норвежским математиком Нильсом Абелем в 1826 г. Это совсем не означает, что корни такого уравнения не могут быть найдены.Численные методы позволяют найти решения определенных задач, заранее зная, что полученные результаты будут вычислены с определенной погрешностью, поэтому для многих численных методов необходимо заранее знать "уровень точности", которому будет соответствовать полученное решение. (1) представляет особый интерес, т.к. формулы нахождения корней даже кубического уравнения достаточно сложны, а если необходимо отыс. кать корни многочлена, степень которого равна, например, 5 - то без помощи численных методов не обойтись, тем боле, что вероятность наличия у такого многочлена натуральных (или целых, или точных корней с с "короткой" дробной частью) довольно мала, а формул для нахождения корней уравнения степени, превышающей 4, не существует. Для нахождения корней многочлена существует несколько численных методов, но мы остановимся на тех из них: методе итераций, методе хорд и касательных и методе половинного деления. Данный метод основан на построении схематического графика функции, определении интервалов его пересечения с осью абсцисс и последующим "сжатием" этого интервала при помощи строимых хорд и касательных к графику этой функции. Определена допустимая погрешность Q на основании графика определен отрезок [a, b], на котром график функции пересекает ось абсцисс, следовательно, на этом отрезке (рис.Пятый шаг алгоритма хорд и касательных определял возврат к первому шагу и последующую цикличность хода, т.е. метод хорд и касательных являлся итерационным. Другой метод, также основанный на повторах так и был назван - "метод итераций". определен некоторый интервал [a, b], точно содержащий решение уравнения. Определено некоторое число z, принадлежащее [a, b](назовем z "нулевым приближением"). Данный метод является исключительно аналитическим, что упрощает его машинную реализацию, однако содержит следующие недостатки: необходимость выбора нулевого приближения (ведь то, что интуитивно для человека, для ЭВМ может стать довольно сложной задачей);Главным его преимуществом является то, что в данном методе не происходит потери кратных корней. У многочлена n-степени, как известно, n корней, а из (12) следует, что корнями F(x) являются - 2 и 1,5, причем корень - 2 является кратным, т.е. фактически это два одинаковых корня. При отыскании же корней любым из вышеописанных методов "второй" корень - 2 будет потерян, т.к. график функции будет иметь лишь две точки пересечения с осью абсцисс. Суть его заключается в следующем: каждый многочлен вида (1) можно представить в виде: (x h1)(x h2)…(x hn)*H = 0 (13), или F(x) = (x h)(bn-1xn-1 …b1) b0, (14) где h1…hn - корни уравнения, а Н - произведение множителей х, вынесенных за скобки (Н никак не влияет на уравнение, т.к. от него избавляются, деля на Н обе части (13).Разделить с остатком многочлен f (x) на ненулевой многочлен g (x) - это значит представить f (x) в виде: f (x) =g (x) s (x) r (x), где s (x) и r (x)-многочлены и либо r (x) =0, либо ст. r (x) <ст. g (x). Неполное частное при делении можно найти с помощью простого правила, называемого схемой Горнера, которое, кстати, позволяет найти и остаток. Многочлены, стоящие в левой и правой частях этого соотношения, равны, а значит, равны их соответствующие коэффициенты. Коэффициенты, стоящие в каждой последующей клетке, вычисляются по такому правилу: число c умножается на число, стоящее в предыдущей клетке, и к результату прибавляется число, стоящее над заполняемой клеткой. Чтобы запомнить, скажем, пятую клетку, т.е. найти стоящий в ней коэффициент, нужно c умножить на число, находящееся в четвертой клетке, и к результату прибавить число, стоящее над пятой клеткой.Разложим функцию f(x) в ряд в точке x0 близкой к точке x и ограничимся только первыми двумя членами разложения. Таким образом, если нам известно приближенное значение корня уравнения, то полученное уравнение позволяет его уточнить. Понятно, что процесс уточнения можно повторять многократно, до тех пор, пока значение функции не будут отличаться от нуля на величину меньшую, чем заданная точность поиска. Ограничившись в разложении только первыми двумя членами, мы фактически заменили функцию f(x) на прямую линию, касательную в точке x0, поэтому метод Ньютона еще называют методом касательных.

Содержание

Введение

1. Методы нахождения границ многочлена

1.1 Метод хорд и касательных (комбинированный)

1.2 Метод итераций

1.3 Метод половинного деления (метод бисекции)

1.4 Метод разложения на множители

2. Схема Горнера

3. Универсальный метод нахождения границ многочлена. Метод Ньютона

4. Теорема Штурма

5. Решение задач на вычисление границ многочлена

Заключение

Список литературы