Спектральний аналіз сингулярно збурених диференціальних операторів другого порядку - Автореферат

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ СПЕКТРАЛЬНИЙ АНАЛІЗ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ ОПЕРАТОРІВ ДРУГОГО ПОРЯДКУНауковий керівник: кандидат фізико-математичних наук, доцент Маламуд Марк Михайлович, старший науковий співробітник відділу рівняннь в частинних похідних Інституту прикладної математики та механіки НАН України. Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Золотарьов Володимир Олексійович, Харківський національний університет ім. Каразіна, декан механіко-математичного факультету доктор фізико-математичних наук, професор, Шкаліков Андрій Андрійович, професор кафедри теорії функцій і функціонального аналізу Московського державного університету ім. Захист відбудеться 31.01.2007 р. о 1500 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради K 11.193.02 Інституту прикладної математики і механіки НАН України, 83114, м. З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки, 83114, Донецьк, вул.Перші результати про спектр таких операторів було отримано Е. Проблеми подібності для операторів цього класу у просторі L2(|r(x)|dx) почали досліджувати у 70-х роках минулого сторіччя у звязку з деякими модельними задачами математичної фізики. За деяких додаткових умов, оператор L буде J-самоспряженим оператором. Нудельман довів, що оператор є максимальним антіакретивним, та за домогою теорії консервативних систем дослідив деякі спектральні властивості цього оператора. Для одержання умов подібності використовується критерій подібності оператора самоспряженому, отриманий незалежно С.Н.Набоком і М.М.Маламудом, необхідні умови на поведінку резольвенти оператора, який є подібним до самоспряженого, а також спектральна теорія дефінізовних операторів в просторах Крейна.Область визначення спряженого оператора L може не збігатися з dom(L), тому, як правило, оператор L не є самоспряженим. Якщо існують такі додатні сталі , що (1) а також (2) де то оператор Lw є подібним до самоспряженого в L2(R, w(x)dx). Теорема 1.1.4 . Нехай Т - оператор в H, що має дійсний спектр. Другий розділ присвячено дослідженню спектральних властивостей оператора Lw вигляду (5), який діє в гільбертовому просторі L2(R, w(x)dx). Оператор T називається J-самоспряженим, якщо оператор L :=JT є самоспряженим у гільбертовому просторі H.Доведено, що за умов оператор Lw - J-невідємний, дефінізовний та має дійсний спектр . В термінах m-функцій Вейля-Тітчмарша обчислено необхідні та достатні умови регулярності критичних точок 0 та оператора Lw. Це дозволило дослідити квазісамоспряжені розширення цього оператора - обчислити їх спектр, резольвенти, та отримати критерій подібності несамоспряжених розширень до самоспряженого (нормального) оператора. Для таких операторів обчислено критерій подібності до самоспряжного та нормального операторів в термінах коефіцієнтів З цього критерію випливає той факт, що ці оператори є подібними до нормального для майже всіх значень В свою чергу, оператор LS є квазісамоспряженим розширенням оператора L0, тому за певного вибору граничної трійки для оператора L0 отримано формулу для характеристичної функції оператора LS, яку було обчислено М.А. Нудельманом.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ