Случайные величины - Контрольная работа

7.1 Математическое ожидание случайной величины, его вероятностный смысл и свойства 7.2 Дисперсия случайной величины и ее свойства 8.1 Способы проверки некоторых статистических гипотезСлучайной величиной называется переменная величина, которая в зависимости от исхода испытания случайно принимает одно значение из множества возможных значений.Случайная величина называется непрерывной, если она может принимать значения, сколь угодно мало отличающиеся друг от друга.Соответствие между всеми возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями называется законом распределения данной случайной величины. Законом распределения случайной дискретной величины называется совокупность пар чисел (), где - возможные значения случайной величины, а - вероятности, с которыми она принимает эти значения, причем .Пусть - случайная величина, определенная на множестве элементарных событий , , а - произвольное действительное число. В общем случае функция должна быть такова, чтобы для любых событие , состоящее в том, что случайная величина попадает в интервал , принадлежала полю событий и, таким образом, для любого такого события была определена вероятность . Тогда вероятность того, что примет значение, меньшее, чем , равна значению функции распределения вероятностей данной случайной величины , соответствующее значению аргумента , т.е. функция распределения вероятностей данной случайной величины представляет собой вероятность события , где - задаваемые непрерывно изменяющиеся значения, т.е. Рассмотрим функцию распределения случайной дискретной величины , принимающей значения . Если дискретные значения случайной величины расположены в порядке возрастания, то каждому значению этих величин ставится в соответствие сумма вероятностей всех предыдущих значений и вероятности .Определение и свойства функции распределения сохраняются и для непрерывной случайной величины, для которой функцию распределения можно считать одним из видов задания закона распределения. Функция f(x), называемая плотностью распределения непрерывной случайной величины, определяется по формуле: f (x) = F?(x), то есть является производной функции распределения. График плотности распределения представляет собой кривую, расположенную выше оси Ох, причем эта ось является ее горизонтальной асимптотой при (последнее справедливо только для случайных величин, множеством возможных значений которых является все множество действительных чисел).Вероятность попадания случайной величины X в интервал а<Х<b определяется по формуле P(a?X<b)=F(b)-F(a).В некоторых случаях закон распределения случайной величины неизвестен, или просто целесообразно использовать не таблицу или функцию распределения для представления случайной величины, а так называемые числовые характеристики ее распределения, в частности математическое ожидание. Очевидно, математическое ожидание случайной величины не изменится, если таблицу значений этой случайной величины пополнить конечным числом любых чисел, считая, что вероятности этих чисел равны нулю. Математическое ожидание случайной величины есть величина постоянная и поэтому представляет числовую характеристику случайной величины . Например, под суммой понимается случайная величина , значениями которой являются все допустимые суммы , где и - все возможные значения соответственно случайных величин и ; причем соответствующие вероятности равны: . Доказательство: 1) Пусть случайная величина принимает значения с вероятностями (), а случайная величина принимает значения с вероятностями ().В заключение хотелось бы еще раз вспомнить о том, что подавляющее большинство природных явлений, а также явлений повседневной жизни содержат в себе элементы случайности. Окружающий нас мир насыщен случайными событиями: результаты спортивных состязаний, номера выигравших билетов в лотереях, количество солнечных дней в течение года и так далее.

Содержание

Введение

1. Случайные величины

2. Классификация случайных величин

3.Закон распределения случайной величины

4.Функция распределения случайной величины и ее свойства

5. Плотность распределения вероятностей

6. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал