Случайные события. Вычисление вероятности - Учебное пособие

Учебник по теории вероятностиБудем выбирать из этого множества различные упорядоченные подмножества из k элементов. Размещением из n элементов множества Х по k элементам назовем любой упорядоченный набор элементов множества Х. Если выбор элементов множества из Х происходит с возвращением, т.е. каждый элемент множества Х может быть выбран несколько раз, то число размещений из n по k находится по формуле (размещения с повторениями). Если же выбор делается без возвращения, т.е. каждый элемент множества Х можно выбирать только один раз, то количество размещений из n по k обозначается и определяется равенством Расписание на каждый день может отличаться либо предметами, либо порядком расположения этих предметов, поэтому имеем размещения: Частный случай размещения при n=k называется перестановкой из n элементов.Случайным событием называется событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти. Случайные события образуют полную группу, если при каждом испытании может появиться любое из них и не может появиться какое-либо иное событие, несовместное с ними. Исход называется благоприятствующим появлению события А, если появление этого события влечет за собой появление события А. Появление шара с цифрой 1 (или цифрой 2 или цифрой 3) есть событие, благоприятствующее появлению красного шара. Появление шара с цифрой 4 (или цифрой 5, 6, 7, 8) есть событие, благоприятствующее появлению черного шара.Пусть случайное испытание можно представить себе как бросание точки наудачу в некоторую геометрическую область G (на прямой, плоскости или пространстве). Можно считать, что все точки G «равноправны» и тогда вероятность попадания точки в некоторое подмножество пропорционально его мере (длине, площади, объему) и не зависит от его расположения и формы. Геометрическая вероятность события А определяется отношением: , где m(G), m(A) - геометрические меры (длины, площади или объемы) всего пространства элементарных исходов и события А. На плоскость, разграфленную параллельными полосами шириной 2d, расстояние между осевыми линиями которых равно 2D, наудачу брошен круг радиуса r ().Событие А называется частным случаем события В, если при наступлении А наступает и В. Суммой событий А и В называется событие А В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В. Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет. Например, если в результате испытания могут появиться три события, то появление хотя бы одного из этих событий означает наступление либо одного, либо двух, либо трех событий.Случайное событие определено как событие, которое при осуществлении совокупности условий эксперимента может произойти или не произойти. Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме условий эксперимента, не налагается, то такую вероятность называют безусловной; если же налагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называют условной. Например, часто вычисляют вероятность события В при дополнительном условии, что произошло событие А. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло, т.е. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А).Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий , которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события Авычисляется по формуле Событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий , которые будем называть гипотезами. В магаз поступила новая продукция с 3х предприятий.20%-продукция первого предприятия, 30% - продукция второго предприятия, 50% - продукция третьего предприятия; далее, 10% продукции первого предприятия высшего сорта, на втором предприятии - 5% и на третьем - 20% продукции высшего сорта. Обозначим через В событие, заключающееся в том, что будет куплена продукция высшего сорта, через обозначим события, заключающиеся в покупке продукции, принадлежащей соответственно первому, второму и третьему предприятиям. Возможны три гипотезы: А1 - на линию огня вызван первый стрелок, А2 - на линию огня вызван второй стрелок, А1 - на линию огня вызван третий стрелок.При решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых одно и тоже испытание повторяется многократно и исход каждого испытания независим от исходов других. Примеры повторных испытаний: 1) многократное извлечение из урны одного шара при условии, что вынутый шар после регистрации его цвета кладется обратно в урну; Итак, пусть в результате испытания возможны два исхода: либо появится событие А, либо противоположное ему событие.

Содержание

1.1 Элементы комбинаторики

1.2 Классическое определение вероятности

1.3 Геометрическое определение вероятности

1.4 Сложение и умножение вероятностей

1.5 Условная вероятность

1.6 Формула полной вероятности и формула Байеса

1.7 Независимые испытания. Формула Бернулли

1.8 Наивероятнейшее число успехов

1.9 Формула Пуассона

1.10 Теоремы Муавра-Лапласа

1.1 Элементы комбинаторики