Задачи о неподвижной точке. Ускорение сходимости последовательных приближений. Алгоритм решения по методу Эйткена. Разработка программного проекта, реализация в С . Отыскание корня нелинейного скалярного уравнения, отображение в одномерном пространстве.
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение «Ижевский государственный технический университет имени М.Т. Пояснительная записка к курсовой работе по дисциплине: «Вычислительная математика»Многие инженерные задачи приводят к необходимости поиска решения уравнений, удовлетворяющих определенным условиям. Однако получить точное решение уравнения удается лишь в отдельных случаях, но даже при этом часто получают выражение, содержащее искомую функцию в неявном виде, что затрудняет ее использование. Задача отыскания корня нелинейного скалярного уравнения преобразуется к эквивалентной задаче о нахождении неподвижной точки некоторого нелинейного отображения в одномерном пространстве. В первом разделе приведены теоретические сведения, и применения метода Эйткена и Вегстейна, оценка погрешности при его использовании, а также достоинства и недостатки данного метода.Этот элемент называют неподвижной точкой отображения , а уравнение вида (1) Ї задачей о неподвижной точке. Сформулируем условия сходимости метода простых итераций (2) для задачи о неподвижной точке (1). Тогда, если выполняются условия: 1) , 2) , то уравнение (1) имеет и притом единственный на корень ; к этому корню сходится определяемая методом простых итераций (3) последовательность , начинающаяся с любого . Эти условия согласно теореме 1, являются достаточными для существования и единственности на решения непрерывной задачи (1), причем оно может быть получено как предел последовательности (т.е. как решение дискретной задачи (3)), начинающейся с любой точки . Попытаемся выяснить, к чему может привести нарушение условий сходимости метода простых итераций, т.е. условий (3), применительно к данной модели.МПИ (1) имеет лишь линейную сходимость, причем в случаях, когда производная функции близка к единице, эта сходимость может быть весьма медленной. На стадии приведения уравнения к задаче о неподвижной точке, можно подметить последовательность уравнений Если, например, взять равную отношению единицы на производную функции то уравнение (10) будет определять основной метод Ньютона, сходящийся квадратично.Пусть (Хк) - последовательность, получаемая по формуле (3), вычитая (3) из (2), имеем (11) а уменьшив здесь индекс на единицу, получаем К правым частям этих равенств применим формулу Лагранжа, согласно которой найдутся точки и такие, что (13) Приближенное выражение корня по предыдущей формуле можно использовать на завершающем этапе применения метода простых итераций (3), чтобы получить более точное значение с помощью трех последних членов последовательности .Ввод (начального приближения), (исходной функции),q (оценки модуля производной), (допустимой абсолютной погрешности) Проверка на точность: если , то если положить , вычислить и вернуться к шагу 2. Шаг ускорения по методу Эйткена на базе последовательности , получаемой МПИ (3),имеет простую геометрическую интерпретацию. Применяя метод Эйткена, не следует забывать о проблеме своевременного прерывания счета изза потерь точности при вычитании близких чисел. Подключение - ускорения на ранней стадии МПИ, когда далеко от , может привести к расходимости процесса, по крайней мере, в случае, когда .При выводе метода Вегстейна решения задачи о неподвижной точке (2) используют как аналитические, так и геометрические соображения. Пусть уже найдены: - элемент строящейся последовательности, и - точка, соответствующая одному шагу МПИ, примененного в точке . Независимо от того, сходится начатый с МПИ или расходится, отрезок АВ, параллельный оси Ох и имеющий концами точки и , можно разделить точкой С так, чтобы она принадлежала вертикальной прямой . Можно утверждать, что существует точка такая что (23) Если бы значение было известно, то тем самым задача о неподвижной точке была бы решена точно.Ввод (начальное приближение), (исходную функцию),q (оценку модуля производной), (допустимую абсолютную погрешность) Вычислить , положить Проверить на точность: если , то вычислить ; переприсвоить значения и вернуться к шагу 2. Если нет угрозы большой потери точности изза вычитания близких чисел, о заканчивать работу алгоритма Вегстейна лучше выводом значения .#include #include double x[11],f[11];Как показываю многочисленные опыты с уравнениями вида , особый интерес среди которых вызывают случаи, когда простые итерации дают расходящиеся последовательности , метод Вегстейна имеет определенные преимущества перед методом Эйткена по количеству обращений к вычислению значений для получения корня с заданной точностью. На рисунке 3 и на рисунке 4 изображены блок схемы метода Эйткена и Вегстейна соответственно. Чаще всего, метод Вегстейна еще и позволяет в более широких пределах варьировать выбор начальной точки .Миллионы людей занимаются математическими расчетами, иногда в силу влечения к таинствам математики и ее внутренней красоте, а чаще в силу профессиональной или иной необходимости, не говоря уже об учебе.
