Скінченновимірні редукції нелінійних динамічних систем типу Кортевега–де Фріза та їх повна інтегровність - Автореферат

бесплатно 0
4.5 198
Аналіз повної інтегрованості інверсних нелінійних динамічних систем на функціональних многовидах. Побудова та симплектичний аналіз скінченновимірних редукцій на локальні інваріантні підмноговиди бігамільтонових динамічних систем, аналіз їх інтегрованості.


Аннотация к работе
Міністерство освіти і науки УкраїниАвтореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук Науковий керівник - доктор фізико-математичних наук, професор Притула Микола Миколайович, Львівський національний університеті імені Івана Франка, завідувач кафедри дискретного аналізу та інтелектуальних систем Стєклова РАН, головний науковий співробітник (м.Москва) кандидат фізико-математичних наук, професор Голод Петро Іванович, Національний університет „Києво-Могилянська академія”, завідувач кафедри фізико-математичних наук Захист відбудеться “17” травня 2007р. о 1530 на засіданні спеціалізованої вченої ради К 35.051.07 у Львівському національному університеті імені Івана Франка за адресою: 79000, м.Важливим аспектом теорії інтегровних за Лаксом нелінійних динамічних систем, що перетворилась сьогодні на окрему галузь сучасної теорії диференціальних рівнянь та математичної фізики, є її широке і конкретне застосування - від гідродинаміки і фізики плазми, фізики твердого тіла і нелінійної оптики до сучасної теорії поля та квантової статистичної механіки. Якщо інтерпретувати рівняння в частинних похідних, в даному випадку рівняння КДФ, як гамільтонову систему в нескінченновимірному функціональному просторі з певною симплектичною структурою і законами збереження в якості інтегралів, то це можна розглядати як приклад інтегровної системи з нескінченною кількістю ступенів свободи. У розвитку теорії інтегровних за Лаксом нелінійних динамічних систем видатними є праці П.Лакса, С.Новікова та О.Богоявленського, які вперше поставили і частково розвязали проблему редукції нескінченновимірних динамічних систем на скінченновимірні інваріантні підмноговиди, що допускають локально дифеоморфні вкладання у відповідні многовиди та довели їх канонічну гамільтоновість, а при певних додаткових умовах і повну інтегровність за Ліувіллем. Недавно ці методи були ефективно застосовані у роботах Прикарпатського А.К., Гентош О.Є. для побудови скінченновимірних редукцій на локальні та нелокальні інваріантні підмноговиди нелінійних динамічних систем на функціональних супермноговидах, які мають цікаві застосування у сучасній математичній фізиці. Результатом досліджень динамічних систем стала нова галузь сучасної теорії нелінійних диференціальних рівнянь - теорія цілком інтегровних динамічних систем, де актуальними є такі задачі: класифікація, тобто побудова критеріїв інтегровності нелінійних динамічних систем, розширення класу цілком інтегровних динамічних систем; побудова точних (скінченнозонних, раціональних, солітонних тощо) розвязків; вивчення диференціально-геометричних, алгебраїчних і гамільтонових аспектів теорії нелінійних динамічних систем; використання результатів цієї теорії в інших розділах теорії нелінійних диференціальних рівнянь.Нелінійні динамічні системи локально записуються у вигляді рівнянь в частинних похідних, де М - нескінченновимірний гладкий многовид, який, наприклад, можна реалізувати за допомогою деякого спеціального підпростору простору гладких вектор-функцій на замкненій множині U, де т, п - деякі натуральні числа; К: М>Т(М) - деякий локальний функціонал на М, гладкий за Фреше, t Є R - еволюційний параметр. Знайдено зображення Лакса для динамічної системи (1) як умову сумісності лінійних диференціальних рівнянь першого порядку ш:= ш(x,t) - вектор 2р-періодичних за змінною х функцій, таких що, для кожного t Є R. Система (4) у бігамільтоновій формі має вигляд, де - елементи нескінченної послідовності інволютивних законів збереження, відображення є узгодженою за Магрі парою імплектичних ньотерових операторів. Оскільки векторне поле d/dx, для системи (4) є гамільтоновим відносно канонічної симплектичної структури, то отримано наступні рівняння Гамільтона. Оскільки набір функцій (11) є дійсним і функціонально незалежним як функцій від h, то отримано породжуючу функцію (10) як функцію нових канонічних змінних „дія-кут“ на інваріантному підмноговиді ш - кутовий вектор на торі, матриця називається матрицею частот нашої динамічної системи на торі.У дисертації отримано такі нові результати: 1) Реалізовано градієнтно-голономний алгоритм знаходження ієрархії законів збереження та знайдено представлення типу Лакса для інверсної модифікованої нелінійної динамічної системи КДФ. 2) За допомогою розширеного методу tanh-функції знайдено солітонні розвязки нелінійної інверсної динамічної системи КДФ, нелінійної інверсної модифікованої динамічної системи КДФ та побудовано їх графічне зображення.

План
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
Заказать написание новой работы



Дисциплины научных работ



Хотите, перезвоним вам?