Скінченновимірні редукції нелінійних динамічних систем типу Кортевега–де Фріза та їх повна інтегровність - Автореферат

Міністерство освіти і науки УкраїниАвтореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук Науковий керівник - доктор фізико-математичних наук, професор Притула Микола Миколайович, Львівський національний університеті імені Івана Франка, завідувач кафедри дискретного аналізу та інтелектуальних систем Стєклова РАН, головний науковий співробітник (м.Москва) кандидат фізико-математичних наук, професор Голод Петро Іванович, Національний університет „Києво-Могилянська академія”, завідувач кафедри фізико-математичних наук Захист відбудеться “17” травня 2007р. о 1530 на засіданні спеціалізованої вченої ради К 35.051.07 у Львівському національному університеті імені Івана Франка за адресою: 79000, м.Важливим аспектом теорії інтегровних за Лаксом нелінійних динамічних систем, що перетворилась сьогодні на окрему галузь сучасної теорії диференціальних рівнянь та математичної фізики, є її широке і конкретне застосування - від гідродинаміки і фізики плазми, фізики твердого тіла і нелінійної оптики до сучасної теорії поля та квантової статистичної механіки. Якщо інтерпретувати рівняння в частинних похідних, в даному випадку рівняння КДФ, як гамільтонову систему в нескінченновимірному функціональному просторі з певною симплектичною структурою і законами збереження в якості інтегралів, то це можна розглядати як приклад інтегровної системи з нескінченною кількістю ступенів свободи. У розвитку теорії інтегровних за Лаксом нелінійних динамічних систем видатними є праці П.Лакса, С.Новікова та О.Богоявленського, які вперше поставили і частково розвязали проблему редукції нескінченновимірних динамічних систем на скінченновимірні інваріантні підмноговиди, що допускають локально дифеоморфні вкладання у відповідні многовиди та довели їх канонічну гамільтоновість, а при певних додаткових умовах і повну інтегровність за Ліувіллем. Недавно ці методи були ефективно застосовані у роботах Прикарпатського А.К., Гентош О.Є. для побудови скінченновимірних редукцій на локальні та нелокальні інваріантні підмноговиди нелінійних динамічних систем на функціональних супермноговидах, які мають цікаві застосування у сучасній математичній фізиці. Результатом досліджень динамічних систем стала нова галузь сучасної теорії нелінійних диференціальних рівнянь - теорія цілком інтегровних динамічних систем, де актуальними є такі задачі: класифікація, тобто побудова критеріїв інтегровності нелінійних динамічних систем, розширення класу цілком інтегровних динамічних систем; побудова точних (скінченнозонних, раціональних, солітонних тощо) розвязків; вивчення диференціально-геометричних, алгебраїчних і гамільтонових аспектів теорії нелінійних динамічних систем; використання результатів цієї теорії в інших розділах теорії нелінійних диференціальних рівнянь.Нелінійні динамічні системи локально записуються у вигляді рівнянь в частинних похідних, де М - нескінченновимірний гладкий многовид, який, наприклад, можна реалізувати за допомогою деякого спеціального підпростору простору гладких вектор-функцій на замкненій множині U, де т, п - деякі натуральні числа; К: М>Т(М) - деякий локальний функціонал на М, гладкий за Фреше, t Є R - еволюційний параметр. Знайдено зображення Лакса для динамічної системи (1) як умову сумісності лінійних диференціальних рівнянь першого порядку ш:= ш(x,t) - вектор 2р-періодичних за змінною х функцій, таких що, для кожного t Є R. Система (4) у бігамільтоновій формі має вигляд, де - елементи нескінченної послідовності інволютивних законів збереження, відображення є узгодженою за Магрі парою імплектичних ньотерових операторів. Оскільки векторне поле d/dx, для системи (4) є гамільтоновим відносно канонічної симплектичної структури, то отримано наступні рівняння Гамільтона. Оскільки набір функцій (11) є дійсним і функціонально незалежним як функцій від h, то отримано породжуючу функцію (10) як функцію нових канонічних змінних „дія-кут“ на інваріантному підмноговиді ш - кутовий вектор на торі, матриця називається матрицею частот нашої динамічної системи на торі.У дисертації отримано такі нові результати: 1) Реалізовано градієнтно-голономний алгоритм знаходження ієрархії законів збереження та знайдено представлення типу Лакса для інверсної модифікованої нелінійної динамічної системи КДФ. 2) За допомогою розширеного методу tanh-функції знайдено солітонні розвязки нелінійної інверсної динамічної системи КДФ, нелінійної інверсної модифікованої динамічної системи КДФ та побудовано їх графічне зображення.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ