Системная нечеткая интервальная математика (СНИМ) – перспективное направление теоретической и вычислительной математики - Статья

СИСТЕМНАЯ НЕЧЕТКАЯ ИНТЕРВАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА (СНИМ) - ПЕРСПЕКТИВНОЕ НАПРАВЛЕНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИКратко рассматриваются перспективы и некоторые «точки роста» современной теоретической и вычислительной математики, в частности: числа и множества - основа современной математики; математические, прагматические и компьютерные числа; от обычных множеств - к нечетким; теория нечетких множеств и «нечеткое удвоение» математики; о сведении теории нечетких множеств к теории случайных множеств; интервальные числа как частный случай нечетких множеств; развитие интервальной математики (интервальное удвоение математики); система как обобщение множества; системное обобщение математики и задачи, возникающие при этом; системное обобщение операций над множествами (на примере операции объединения булеанов); системное обобщение понятия функции и функциональной зависимости; когнитивные функции; матрицы знаний как нечеткое с расчетной степенью истинности отображение системы аргументов на систему значений функции; модификация метода наименьших квадратов при аппроксимации когнитивных функций; развитие идеи системного обобщения математики в области теории информации - системная (эмерджентная) теория информации; информационные меры уровня системности - коэффициенты эмерджентности; прямые и обратные, непосредственные и опосредованные правдоподобные логические рассуждения с расчетной степенью истинности; интеллектуальная система Эйдос-Х как инструментарий, реализующий идеи системного нечеткого интервального обобщения математикиЯсно, что вычислительная математика возникла тогда, когда возникла потребность в реальных практических вычислениях. Возможно, это было сделано на основе некоторых теоретических представлений, однако гораздо более правдоподобным является предположение, что сами эти теоретические представления возникли как обобщение опыта реальных вычислений. математика множество нечеткий обобщение Однако именно с появлением компьютеров и информационных технологий началась новая современная эпоха бурного развития вычислительной математики, численных методов и дискретной математики (далее будем называть все эти направления вычислительной математикой).«Между математикой и практикой всегда существует двусторонняя связь; математика предлагает практике понятия и методы исследования, которыми она уже располагает, а практика постоянно сообщает математике, что ей необходимо» [1, c.53]. В настоящей статье мы рассматриваем необходимость расширения математического аппарата с целью учета присущих реальности нечеткости, интервальности, системности, а также основы соответствующего предлагаемого нами нового перспективного направления теоретической и вычислительной математики - системной нечеткой интервальной математики (СНИМ). Колмогорову [2], математику в ее историческом развитии, констатируем, что ее основой являются действительные числа и множества. Например, чтобы ввести функцию, задают два множества А и В - область определения и область значений соответственно, а функцию f описывают как отображение из А в В, т.е. как множество всех пар (x, f(x), где х - элемент множества А, а f(x) - соответствующий элемент множества В. Если предположить, что К не содержит себя, как элемент, то вновь возникает противоречие, ведь К - множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента, а значит, должно содержать все такие множества, включая и себя.Констатируем, что реально используемые - назовем их прагматическими - числа зачастую не являются математическими. Так, для России начала текущего тысячелетия каждые пятнадцать секунд умирал человек, каждые двадцать секунд появлялся новорожденный, следовательно, каждую минуту численность населения уменьшалась на одного человека, а потому любое конкретное значение этой численности с точностью до одного человека могло соответствовать действительности в течение лишь одной минуты. Десятичная запись - это декларативная форма представления числа, при которой число непосредственно готово для использования в вычислениях, а представление чисел в виде формул - это процедурная форма представления числа, подобная алгебраической, при которой перед использованием числа для вычислений необходимо предварительно еще вычислить его. А вот в правой из числа порядка 1018 вычитается число также порядка 1018, т.е. каждое из них имеет 18 знаков до запятой, и первые 17 из них должны совпасть. Они появляются изза существования в любом компьютере «машинного нуля»: все числа, по абсолютной величине меньшие, чем «машинный нуль», компьютер воспринимает как 0.Если к тому, что не оставляет кучи, добавить одно зерно, то куча не получится. Индуктивный переход: «Если к тому, что не оставляет кучи, добавить одно зерно, то куча не получится». В нем обсуждаются два понятия - «несколько зерен» и «куча» - и показывается, что граница между ними в мышлении людей и в отражающем это мышление естественном языке (русском, английском, китайском, любом другом) нечетка, размыта.

Содержание

Введение

1. Числа и множества - основа современной математики

2. Математические, прагматические и компьютерные числа

3. От обычных множеств - к нечетким

4. Теория нечетких множеств и «нечеткое удвоение» математики

5. О сведении теории нечетких множеств к теории случайных множеств

6. Интервальные числа как частный случай нечетких множеств

7. Развитие интервальной математики. «Интервальное удвоение» математики

8. Система как обобщение множества. Системное обобщение математики и задачи, возникающие при этом

9. Системное обобщение операций над множествами (на примере операции объединения булеанов)

10. Системное обобщение понятия функции и функциональной зависимости. Когнитивные функции. Матрицы знаний как нечеткое с расчетной степенью истинности отображение системы аргументов на систему значений функции

11. Модификация метода наименьших квадратов при аппроксимации когнитивных функций

12. Развитие идеи системного обобщения математики в области теории информации. Системная (эмерджентная) теория информации

13. Информационные меры уровня системности - коэффициенты эмерджентности

14. Прямые и обратные, непосредственные и опосредованные правдоподобные логические рассуждения с расчетной степенью истинности

15. Интеллектуальная система Эйдос-Х как инструментарий, реализующий идеи системного нечеткого интервального обобщения математики