Система амортизации с двумя степенями свободы - Дипломная работа

Одна из причин, по которой все эти характеристики ухудшаются - механические колебания или вибрации, возникающие во время движения системы под действием внешних нагрузок. Колебания могут быть периодическими, то есть могут описываться периодическими функциями времени, и непериодическими. Любой колебательный процесс описывается с помощью математических уравнений или иначе математической моделью. В связи с научно-техническим прогрессом разрабатывается огромнейшее количество машин, которые помогают автоматизировать самые разные виды деятельности, а значит, появляется необходимость более глубокого исследования их эффективной работы. Самой широко используемой на практике среди них является классификация по снижению уровня вибраций, которая делит все устройства на два вида: - антивибраторы или динамические виброгасители, которые позволяют изменяя соотношения между собственной частотой системы и частотой внешней силы, исключить резонанс;Динамическая система виброзащиты, рассматриваемая в данной работе, представляет собой твердое тело, закрепленное на двух пружинах. Тело может двигаться вдоль вертикальной оси и поворачиваться вокруг центра масс, таким образом, система определяется двумя степенями свободы. До недавнего времени, в литературе довольно редко встречалось рассмотрение виброзащитных свойств систем с двумя степенями свободы. Но в последнее время, так как проблема становится все более актуальной, а наука не стоит на месте, пришло время рассматривать варианты моделей систем различной сложности - существенно-нелинейные системы с несколькими степенями свободы. Данная задача была исследована в другой постановке - симметричном относительно центра масс варианте (одинаковыми были расстояния от центра масс до мест приложения пружин d1=d2, коэффициенты упругости пружин c1=c2).Такое допущение возможно, так как множество периодических функций допускают разложение на сумму тригонометрических компонентов, другими словами, в виде суммы гармонических колебаний можно представить любой колебательный процесс. Все колебательные процессы в природе являются затухающими, то есть система обязательно теряет часть своей энергии, до тех пор, пока процесс совсем не остановится. По способам возникновения колебания бывают: - свободные Свободные колебания возникают при подаче системе в начальный момент времени некоторой энергии, после чего система движется самостоятельно. Если к системе будет приложена внешняя сила F, которая не будет иметь колебательный характер, тогда будут автоколебания, уравнение будет выглядеть следующим образом: Если к системе будет приложена внешняя сила, имеющая характер колебаний, то есть F=Wsinwt (где W-амплитуда колебаний приложенной силы, w-частота), колебания будут вынужденные, уравнение будет выглядеть: Если один из параметров системы будет изменяться во времени (например, нить, на которой подвешен груз, будет растяжима, то есть длина нити будет зависеть от времени), тогда колебания будут параметрическими, уравнение при этом остается таким же, но при его решение обязательно нужно учитывать зависимость параметра от времени l(t).Иллюстрация нелинейной несимметричной системы амортизации с двумя степенями свободы ? - перемещение вокруг центра масс, зависит от t; x-перемещение вдоль вертикальной оси, зависит от t; Получаем систему: К системе учтем вид нелинейности F: Раскроем скобки и приведем подобные : Получим систему относительно x и : Получили систему из двух дифференциальных уравнений второго порядка. На базе технической постановки задачи несимметричной нелинейной системы виброзащиты с двумя степенями свободы, а так же опираясь на уже изученный математический аппарат колебательной теории, построена требуемая математическая модель системы.Систему, полученную нами для решения поставленной задачи нельзя решить аналитическим методом, поэтому в рассмотрение берем только численные методы. Для решения численным методом с помощью любого прикладного математического пакета, дифференциальное уравнение любого порядка приводится к системе дифференциальных уравнений первого порядка. Рассмотрим алгоритмы численного решения обыкновенного уравнения второго порядка. или Для второго уравнения решается задача Коши, то есть ищется частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.Этот метод является самым простым и наиболее распространенным в решении задач Коши, а также имеет различные модификации, поэтому его можно рассматривать отдельно. Дифференциальное уравнение первого порядка можно рассматривать как определение кривой через ее производную в плоскости (x,y). Любое дифференциальное уравнение задает наклон кривой как функцию от x и от y в любой точке. В начальный момент известна одна точка, через которую проходит кривая, а именно .Начиная с этой точки, вычисляем наклон кривой при и , продвигаемся на некоторое малое расстояние вдоль получившейся касательной.Методы Рунге-Кутта согласуются с рядом Тейлора вплоть до членов порядка , где р-порядок метода.

Оглавление

Введение

1. Постановка задачи

1.1 Техническая постановка

1.2 Обзор задач-прототипов

1.3 Математическая модель

2. Методы решения

2.1 Одношаговые методы

2.1.1 Методы Эйлера

2.1.2 Методы Рунге - Кутта

2.2 Многошаговые методы

2.3 Реализация методов решения систем нелинейных дифференциальных уравнений в пакете MATLAB

3. Анализ несимметричной нелинейной системы амортизации

3.1 Реализация решения задачи в пакете MATLAB

3.2 Исследование эффектов и поведения решения при различных значениях параметров и анализ полученных результатов

3.2.1 Исследование АЧХ в зависимости от значений расстояний от центра масс до точек прикрепления пружин

3.2.2 Исследование АЧХ в зависимости от значений жесткостей пружин

3.2.3 Исследование АЧХ в зависимости от значений диссипации

Заключение

Список использованной литературы