Сингулярні інтегральні рівняння з додатковими умовами і методи їх розв’язання - Автореферат

Інститут математики Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор ЛУЧКА Антон Юрійович, Інститут математики НАН України, провідний науковий співробітник Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Вірченко Ніна Опанасівна, Національний технічний університет України “КПІ” кандидат фізико-математичних наук, Плотницький Томко Адамович, Інститут математики НАН України, старший науковий співробітник Захист відбудеться 16 лютого 1999р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої ради Д 26.206.02 при Інституті математики НАН України за адресою: 252601 Київ - 4, вул.Процес взаємного збагачення і розвитку теорії сингулярних інтегральних рівнянь, методів їх розвязання і чисельного розвязку нових прикладних задач із різних галузей природознавства і техніки безперервно продовжується. Одному класу таких задач, а саме задачам, що призводять до сингулярних інтегральних рівнянь, на розвязок яких накладено певні умови, і методам розвязання таких задач присвячена дана дисертаційна робота. Оскільки сингулярні інтегральні рівняння точно розвязні лише у виняткових випадках, в наукових дослідженнях велика увага приділяється проблемі розробки методів наближеного обчислення цього класу рівнянь. Слід зауважити, що теорія наближених методів для сингулярних інтегральних рівнянь добре вивчена. Велика увага приділяється прямим методам розвязання сингулярних інтегральних рівнянь, частинними випадками яких є методи Бубнова-Гальоркіна, колокації, механічних квадратур, скінченних елементів.У першому розділі дисертації встановлено умови розвязності і розроблено наближені методи розвязання задачі з параметрами для лінійного сингулярного інтегрального рівняння з ядром Гільберта вигляду За умови, що системи лінійно незалежних функцій задовольняють умову Польського, існують такий оператор G і вектор-функція , що єдиний розвязок задачі (4) подається формулами За допомогою формул (6), (7), задача (1) зводиться до інтегрального рівняння де - компактний інтегральний оператор, причому Внаслідок (10), рівняння (9) можна розглядати як систему рівнянь В підрозділі 1.2 обгрунтовано застосування ітераційного методу до задачі (1), згідно з яким наближені розвязки задачі (1) знаходяться за формулами де початкове наближення визначається із задачі (16), за умови, що , а задаємо довільним чином. В підрозділі 1.3 розглянуто питання застосування до задачі (1) проекційно-ітеративного методу, згідно з яким наближені розвязки знаходимо із задачіВстановлено умови розвязності задачі з параметрами для сингулярних інтегральних рівнянь, побудовано алгоритми ітераційного і проекційно-ітеративного методів наближеного розвязання такого типу задач, одержано достатні умови збіжності і оцінки похибки запропонованих методів, розроблено зручні обчислювальні схеми; встановлено умови сумісності сингулярних інтегральних рівнянь з обмеженнями і умови застосування до такого класу задач методів проекційно-ітеративного типу; розроблено підхід до розвязання сингулярних інтегральних рівнянь з ненульовим індексом. Основні результати дисертації опубліковано в наступних роботах Методи розвязання лінійних сингулярних інтегральних рівнянь з параметрами // Доп.НАН України. Метод послідовних наближень розвязання сингулярних інтегральних рівнянь з параметрами // Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. Розвязання нелінійного сингулярного інтегрального рівняння з параметрами методом послідовних наближень // Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики.

2. Основний зміст роботи