Сингулярні інтегральні рівняння та нові класи дискретних систем типу Вінера - Хопфа - Автореферат

АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук Сингулярні інтегральні рівняння та нові класи дискретних систем типу Вінера - Хопфа Робота виконана на кафедрі алгебри та геометрії Південноукраїнського державного педагогічного університету імені К.Д. Ушинського. Науковий керівник: кандидат фізико-математичних наук, доцент Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професорОднак, застосовані методи не давали можливості будувати розвязки розглянутих систем через розвязки відповідної крайової задачі теорії аналітичних функцій, тому надалі дослідження дискретних систем Вінера - Хопфа та їх узагальнень проводилось на основі дослідження еквівалентної крайової задачі теорії аналітичних функцій (задача Маркушевича, задача типу Газемана, задача типу Карлемана та ін.). Дискретні системи типу Вінера - Хопфа зі степенево-різницевими індексами вивчені значно менше, хоча такі системи виникали при розвязані практичних задач теорії фільтрів, антен, супутникового звязку. Мета роботи - розробка методу, за допомогою якого можна побудувати теорію Нетера та дослідити властивості нових класів дискретних систем типу Вінера - Хопфа на основі теорії сингулярних інтегральних рівнянь та їх систем. Розроблено метод, що дозволяє на основі відповідного сингулярного інтегро-диференціального рівняння або відповідної диференціальної крайової задачі на одиничному колі при заданих початкових умовах дослідити нові класи дискретних систем типу Вінера - Хопфа, а саме: нескінченні системи алгебраїчних рівнянь зі степенево-різницевими індексами, нескінченні системи алгебраїчних рівнянь зі степенево-різницевими і степенево-сумарними індексами, нескінченні системи алгебраїчних рівнянь зі степенево-різницевими індексами та комплексно-спряженими значеннями невідомих та їх узагальнення. Встановлено умови нетеровості нових класів дискретних систем типу Вінера - Хопфа зі степенево-різницевими індексами, зі степенево-різницевими та степенево-сумарними індексами, зі степенево-різницевими індексами та з комплексно-спряженими значеннями невідомих, отримано оцінку кількості лінійно незалежних розвязків однорідних та кількості умов розвязності неоднорідних систем у їх нормальному й винятковому випадках.Вектор , r?0, 0<??1, , якщо його компоненти задовольняють умови , . Дослідження системи рівнянь (7) проводиться на основі дослідження системи СІР Доведено, що система рівнянь (7) і система СІР (8) будуть еквівалентними, якщо визначені компоненти , , які називаються початковими умовами системи рівнянь (7). Якщо початкові умови системи рівнянь (7) нульові й вектори , , то система рівнянь (7) нетерова в просторах й , 1<q?2, тоді й тільки тоді, коли виконуються умови Нехай початкові умови системи рівнянь (7) нульові, вектори , , виконані умови (9) і вектор або , 1<q?2.Дослідження системи рівнянь (14) проводиться на основі дослідження системи СІР Встановлено, що система рівнянь (14) і система СІР (16) є еквівалентними, якщо задані величини , , які називаються початковими умовами системи рівнянь (14). На підставі дослідження системи СІР (16) побудована теорія розвязності системи рівнянь (16), а саме встановлено умову її нетеровості, отримано оцінки кількості лінійно незалежних розвязків однорідної й умов розвязності неоднорідної системи рівнянь (14) у її нормальному й винятковому випадках, а також визначені швидкості спадання компонент її розвязків при зростанні їх індексів. Якщо ж початкові умови системи рівнянь ненульові, тобто існують , , то її дослідження проводиться на підставі системи рівнянь виду (14) з нульовими початковими умовами. В роботі проведено дослідження нормального й виняткового випадків системи рівнянь (18), тобто зясовано умову її нетеровості, отримано оцінки кількості лінійно незалежних розвязків однорідної й кількості умов розвязності неоднорідної системи рівнянь (18), а також визначено оцінки швидкості спадання компонент розвязків системи при зростанні їх індексів.На основі теорії сингулярних інтегральних рівнянь і інтегро-диференціальних рівнянь та їх систем розроблено метод, що дозволяє побудувати теорію розвязності нових класів дискретних систем типу Вінера - Хопфа, зокрема: нескінчених систем алгебраїчних рівнянь зі степенево-різницевими індексами, нескінчених систем алгебраїчних рівнянь зі степенево-різницевими й степенево-сумарними індексами, нескінчених систем алгебраїчних рівнянь зі степенево-різницевими індексами й з комплексно-спряженими значеннями невідомих та їхніх узагальнень.