Понятие многочлена в математике. Степень и корни многочлена. Свойства корней многочлена в теореме Виета. Доказательства теорем о свойствах симметрических многочленов. Использование теоремы Виета и теории симметрических многочленов для решения задач.
Основное понятие теории многочленов - многочлен от одного переменного - рассматривается в школьном курсе. Если же f(x) = a0 ? 0, то многочлен f(x) имеет степень 0. два произвольных многочлена соответственно степеней n и k, (т.е. а0 ? 0, b0 ? 0), то при их перемножении получим, очевидно, многочлен со старшим членом а0b0xn k. Что же касается суммы двух многочленов, то о ее степени можно сделать в общем случае одно заключение: степень суммы многочленов не превосходит наибольшей из степеней слагаемых. Отметим, что для многочленов с действительными коэффициентами соответствующее утверждение неверно; например, многочлен х 1 не делится на многочлен х3 х2 х 1 = (х 1)(х2 1), хотя оба они имеют ровно один корень - 1.В такие многочлены все неизвестные входят, следовательно, вполне симметричным образом, и поэтому эти многочлены называются симметрическими многочленами (или симметрическими функциями). Следующие n симметрических многочленов от n неизвестных называются элементарными симметрическими многочленами: (2.1) Иными словами, всякий многочлен от элементарных симметрических многочленов s1,s2,…, sn , рассматриваемый как многочлен от неизвестных х1,х2,...,xn, будет симметрическим. Многочлен f(x1, x2, … , xn), будучи симметрическим, должен содержать член a0x1k1x2k2 … XIKI 1xi 1ki … xnkn, (2.4) получающийся из члена (2.2) транспозицией неизвестных хі и хі 1.Это приводит нас к противоречию, так как член (2.4) в смысле лексикографического расположения выше члена (2.2): показатели при х1, х2, ... Отсюда следует, что при вычитании j1 из f высшие члены этих многочленов взаимно уничтожатся, т.е. высший член симметрического многочлена f-j1 = f1 будет ниже члена (2.2), высшего в многочлене f.Решить систему Тогда для для переменных u и v получим систему u2 v = 61, v = 12, которая равносильна системе u2 = 49, v = 12, имеющей решения: u 1 = 7, v1 = 12 и u 2 =-7, v2 = 12. Таким образом, исходная система равносильна совокупности двух систем: x y = 7, x y =-7, xy = 12, xy = 12, Решая каждую из этих систем, например, методом подстановки, получим решения исходной системы: (4;3), (3;4), (-4;-3), (-3;-4).
План
СОДЕРЖАНИЕ
1. Многочлены
2. Симметрические многочлены
3. Использование теоремы Виета и теории симметрических многочленов на примерах
Список использованной литературы
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
