Симетрія та відокремлення змінних в багатовимірних рівняннях математичної фізики параболічного типу - Автореферат

Національна академія наук України СИМЕТРІЯ ТА ВІДОКРЕМЛЕННЯ ЗМІННИХ В БАГАТОВИМІРНИХ РІВНЯННЯХ МАТЕМАТИЧНОЇ ФІЗИКИ ПАРАБОЛІЧНОГО ТИПУРобота виконана в Інституті математики НАН України. наук ЖДАНОВ Ренат Зуфарович, Інститут математики НАН України, провідний науковий співробітник Офіційні опоненти: - доктор фіз.-мат. наук Тимоха Олександр Миколайович, Інститут математики НАН України, провідний науковий співробітник Захист відбудеться 2001 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 при Інституті математики НАН України за адресою: 01601 Київ 4, МСП, вул.Метод відокремлення змінних, створений Фурє та Ейлером понад два сторіччя тому, і донині залишається одним із найбільш ефективних методів інтегрування лінійних рівнянь математичної фізики. Ще одним фактором, який сприяє зростанню інтересу до методу відокремлення змінних, є відкриття Скляніним квантового аналогу цього методу, що дозволило проінтегрувати ряд нелінійних моделей квантової теорії поля. для даного конкретного ДРЧП знайти всі системи координат, в яких це рівняння розвязується методом відокремлення змінних - пряма задача відокремлення змінних. для даного ДРЧП із коефіцієнтами, які є довільними функціями, описати всі випадки цих коефіцієнтів, для яких дане рівняння розвязується методом відокремлення змінних хоча б в одній системі координат - обернена задача відокремлення змінних. Метою даної роботи є повне розвязання як прямої, так і оберненої задачі відокремлення змінних для таких рівнянь математичної фізики параболічного типу, як нестаціонарні рівняння Шредінгера та Паулі з трьома просторовими змінними для частинки, що взаємодіє з електромагнітним полем, (1 3)-вимірне рівняння Фоккера-Планка зі сталою діагональною матрицею дифузії та (1 2)-вимірне рівняння Крамерса, яке описує броунівський рух частинки.Традиційним є таке розуміння методу відокремлення змінних, згідно з яким рівняння Шредінгера () допускає відокремлення змінних в системі координат t, w1, w2, w3, якщо кожен розвязок рівняння () є лінійною комбінацією частинних розвязків вигляду F0(t)F1(w1)F2(w2)F3(w3). Будемо казати, що рівняння Шредінгера () допускає відокремлення змінних в системі координат t, wa=wa(t,x), a=1,2,3, якщо існують деяка ненульова функція Q(t,x) і чотири звичайні диференціальні рівняння праві частини яких аналітично залежать від трьох незалежних комплексних параметрів l1,l2,l3 (сталих відокремлення), такі, що для кожної трійки l1,l2,l3 та для кожної множини розвязків j0(t), j1(w1), j2(w2), j3(w3) системи функція є розвязком рівняння. Отже, коли ми стверджуємо, що отримано повний опис вектор-потенціалів та систем координат, в яких рівняння Шредінгера допускає відокремлення змінних, то розуміємо це лише в рамках нашого означення. Якщо ж використати інше означення, то, в принципі, можна побудувати нові вектор-потенціали та системи координат, в яких рівняння Шредінгера допускає відокремлення змінних. A0(t, x), A(t, x), для яких рівняння Шредінгера допускає відокремлення змінних, а також на множині розвязків з відокремленими змінними та множині відповідних систем координат.Одержано повний розвязок задачі класифікації (1 3)-вимірних рівнянь Шредінгера з вектор-потенціалом електромагнітного поля, що допускають відокремлення змінних, в результаті якого отримуються звичайні диференціальні рівняння, одне першого та три другого порядку. Запропоновано конструктивний алгоритм побудови всіх систем координат, в яких (1 3)-вимірне рівняння Шредінгера з фіксованим вектор-потенціалом допускає таке відокремлення змінних та відповідних розвязків цього рівняння з відокремленими змінними. Доведено, що всі вектор-потенціали і системи координат, які забезпечують відокремлення змінних (в рамках сформульованого означення) для (1 3)-вимірних рівнянь Шредінгера з вектор-потенціалом, також забезпечують відокремлення змінних і для (1 3)-вимірного рівняння Гамільтона-Якобі з вектор-потенціалом. Одержано необхідну умову того, щоб (1 3)-вимірне рівняння Фоккера-Планка зі сталою діагональною матрицею дифузії допускало відокремлення змінних, в результаті якого отримуються звичайні диференціальні рівняння, одне першого та три другого порядку. Одержано повну класифікацію (1 3)-вимірних рівнянь Шредінгера з вектор-потенціалом електромагнітного поля, що допускають відокремлення змінних (ВЗ), в результаті якого отримуються одне звичайне диференціальне рівняння першого та три рівняння другого порядку.

Основний зміст роботи