Определение оператора в гильбертовом пространстве. Индексы дефекта симметрического оператора. Преобразование Кэли и формулы Неймана. Формула Крейна для резольвент самосопряженных расширений заданного симметрического оператора, доказательство теорем.
При низкой оригинальности работы "Самосопряженные расширения симметрических операторов в гильбертовом пространстве", Вы можете повысить уникальность этой работы до 80-100%
Чтобы получить симметрическое расширение заданного оператора А нужно найти изометрическое расширение его преобразования Кэли V. IMG_9e259788-ca33-4ad7-be1d-91f06a083979 , IMG_e625efde-2a14-4adc-be76-f399996fcc9a два подпространства, F и G, равных размерностей и построим произвольный изометрический оператор V1 c областью определения F и областью значений G. Очевидно, IMG_c499ba4e-d8fe-413f-8759-aba274bc4df0 есть изометрическое расширение V и при всевозможных изменениях F, G, V1 мы получим все изометрические расширения IMG_b1c22985-4528-4c2b-825c-7d2d51cd9820 оператора А, следует перейти к преобразованию Кэли оператора А, найти по описанному выше методу некоторое расширениеIMG_87f94ff6-014f-44e7-83cd-d95efbc02237 , называют оператором в пространстве Н с областью определения Тождественный оператор, т.е. оператор, переводящий каждый вектор сам в себя, будем обозначать Оператор Т называется линейным, если его область определения D есть линейное многообразие и IMG_79b24d6d-ade4-4494-8e18-5d0682498ca3 для любых Линейный оператор А называется симметрическим, если 1) область определения DA плотна в Н и 2) для любых двух элементов f, g из DA имеет место равенство IMG_69daf835-70a4-4d32-9541-1cf2e53f3cc7 назовем точкой регулярного типа оператораIMG_b66d10fd-9935-49eb-890a-9e164a52aff1 выражается через оператор IMG_e3ba41af-25e8-4cff-bde8-7448962a1ff8 совпадают с индексами дефекта оператора IMG_4de75a01-ea29-43d7-a7dd-49c508745478 плотно в Н, то определяемый формулой (2’) оператор А - симметрический, а оператор V есть его преобразование Кэли. Из приведенных выше рассуждений следует, в частности, что оператор А является максимальным симметрическим (самосопряженным) тогда и только тогда, когда его преобразование Кэли V является максимальным изометрическим оператором. Для области определения DA оператора А имеет место следующее определение в виде прямой суммы трех линейных многообразий: D<A = DA>(1) и пусть IMG_22a4516f-79a8-4ec3-bae3-dceebf3bc910 означает оператор, совпадающий с оператором А на Покажем, что оператор Среди операторов С, удовлетворяющих условиям (3), существует, очевидно, такой, который является расширением любой общей части операторов А1 и А2; такой оператор назовем максимальной общей частью операторов А1 и А2. IMG_85e234fc-030b-47bf-9f40-2cbec4799f7d векторов, удовлетворяющих условиям (4), равно IMG_0c7b14a7-57c9-43ad-99e1-91669471e0c5 , то максимальная общая часть А0 операторов А1 и А2 имеет индексы дефекта IMG_20dc299b-e203-4c85-900e-4eb5a7ad6f50 . В этом случае операторы А1 и А2 могут рассматриваться как взаимно простые самосопряженные расширения оператора А0.
План
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
1. Индексы дефекта
2. Преобразование Кэли и формулы Неймана
3. Формула Крейна для резольвент самосопряженных расширений заданного симметрического оператора
Литература
Список литературы
1. Н.И. Ахиезер, И.М. Глазман. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. - М., 1966. - 544 с.
