Ряды Фурье - Курсовая работа

Уже в лекциях 1796 он изложил теорему о числе действительных корней алгебраического уравнения, лежащих между данными границами (опубл. 1820), названную его именем; полное решение о числе действительных корней алгебраического уравнения было получено в 1829 Ж.Ш.Ф. Штурмом. В 1818 Фурье исследовал вопрос об условиях применимости разработанного Ньютоном метода численного решения уравнений, не зная об аналогичных результатах, полученных в 1768 французским математиком Ж.Р. Мурайлем. Итогом работ Фурье по численным методам решения уравнений является «Анализ определенных уравнений», изданный посмертно в 1831.Ряды Фурье играют большую роль в математической физике, теории упругости, электротехнике и особенно их частный случай - тригонометрические ряды Фурье. Таким образом, мы приходим к следующей задаче: выяснить существует ли для данной функции ?(x) на заданном промежутке такой ряд (1), который сходился бы на этом промежутке к данной функции. Ряд (1) сходится в некоторой точке х0, в силу периодичности функций (n=1,2,..), он окажется сходящимся и во всех точках вида (m-любое целое число), и тем самым его сумма S(x) будет (в области сходимости ряда) периодической функцией: если Sn(x) - n-я частичная сумма этого ряда, то имеем а потому и , т.е. Пусть периодическая функция ?(х) с периодом 2? такая, что она представляется тригонометрическим рядом, сходящимся к данной функции в интервале (-?, ?), т. е. является суммой этого ряда: ?(x)= (2) Предположим, что интеграл от функции, стоящей в левой части этого равенства, равняется сумме интегралов от членов этого ряда.Пусть ?(x) - периодическая функция, с периодом Т, интегрируемая на любом сегменте вида [х0, х0 Т].

Тогда величина интеграла остается при любом х0 одной и той же: для любых х0, х0"

.Теперь можем вычислить коэффициенты Фурье ak и bk ряда (2). Коэффициенты, определенные по формулам (4), (17), (18) называются коэффициентами Фурье функции ?(x), а составленный тригонометрический ряд (18) с такими коэффициентами называется рядом Фурье функции ?(x). Вышеприведенные соображения показывают, что поиски тригонометрического разложения данной функции целесообразно начать с изучения ее ряда Фурье, откладывая на потом строгое изучение вопроса о том, для каких функций ряд сходится, и притом именно к данной функции.Зададим вопрос: какими свойствами должна обладать функция, чтобы построенный, для нее ряд Фурье сходился и чтобы сумма построенного ряда Фурье равнялась значениям данной функции в соответствующих точках? Сформулируем теорему, которая даст достаточные условия представимости функции ?(x) рядом Фурье. Функция ?(x) называется кусочно-монотонной на отрезке [a, b], если этот отрезок можно разбить конечным числом точек х1, х2, …,xn-1 на интервалы (а, х1), (х1, х2),…, (xn-1, b) так, что на каждом из интервалов функция монотонна, т. е. либо не возрастающая, либо неубывающая. Если периодическая функция ?(x) с периодом 2? - кусочно монотонная и ограниченная на отрезке [-?, ?], то ряд Фурье, построенный для этой функции, сходится во всех точках. В точках разрыва функции ?(x) сумма ряда равняется среднему арифметическому пределов функции ?(x) справа и слева, т. е. если х = с - точка разрыва функции ?(x), то Из этой теоремы следует, что класс функций, представимых рядами Фурье, довольно широк.Периодическая функция ?(x) с периодом 2? определяется следующим образом: ?(x) = х ,-? <x ? ?. Следовательно, ее можно разложить в ряд Фурье. По формуле (4) находим: Применяя формулам (17), (18) и интегрируя по частям, получим: Таким образом, получаем ряд: Это равенство имеет место во всех точках, кроме точек разрыва. Периодическая функция ?(x) с периодом 2? определена следующим образом: ?(x) =-1 при-? <x <0, ?(x) = 1 при 0 ? x ? ?.Отметим следующее свойство периодической функции ?(x) с периодом 2?: , каково бы ни было число ?. Указанное свойство означает, что интеграл от периодической функции ?(x) по любому отрезку, длина которого равна периоду, имеет всегда одно и то же значение. Из доказанного свойства вытекает, что при вычислении коэффициентов Фурье мы можем заменить промежуток интегрирования (-?, ?) промежутком интегрирования (?, ? 2?), т. е. можем положить Это следует из того, что функция ?(x) является, по условию, периодической с периодом 2?; следовательно и функция ?(x)·cosnx, и ?(x)·sinnx являются периодическими функциями с периодом 2?.Аналогично можно доказать, что если ?(x) - нечетная функция, то Если в ряд Фурье разлагается нечетная функция ?(x), то произведение ?(x) coskx есть функция также нечетная, а ?(x) · sinkx - четная; следовательно, (21) т.е. ряд Фурье нечетной функции содержит «только синусы».Пусть функция ?(x) есть периодическая функция с периодом 2l, вообще говоря, отличным от 2?. Разложим ее в ряд Фурье. Ее можно разложить в ряд Фурье на отрезке-? ? x ? ?: где Заметим, что все теоремы, которые имели место для рядов Фурье от периодических функций с периодом 2?, сохраняются и для рядов Фурье от периодических функций с каким-либо другим периодом 2 l.

Содержание

Введение

1. Понятие ряда Фурье

1.1 Определение коэффициентов ряда Фурье

1.2 Интегралы от периодических функций

1.3 Интегралы от некоторых тригонометрических функций

2. Признаки сходимости рядов Фурье

3. Примеры разложения функций в ряды Фурье

3.1 Замечание о разложении периодической функции в ряд Фурье

3.2 Ряды Фурье для четных и нечетных функций

3.3 Ряды Фурье для функций с периодом 2 l.

3.4 Разложение в ряд Фурье непериодической функции