Ряды Фурье - Курсовая работа

Уже в лекциях 1796 он изложил теорему о числе действительных корней алгебраического уравнения, лежащих между данными границами (опубл. 1820), названную его именем; полное решение о числе действительных корней алгебраического уравнения было получено в 1829 Ж.Ш.Ф. Штурмом. В 1818 Фурье исследовал вопрос об условиях применимости разработанного Ньютоном метода численного решения уравнений, не зная об аналогичных результатах, полученных в 1768 французским математиком Ж.Р. Мурайлем. Итогом работ Фурье по численным методам решения уравнений является «Анализ определенных уравнений», изданный посмертно в 1831.Числовым рядом или просто рядом называется выражение (сумма) вида Чтобы задать ряд (1.1) достаточно задать функцию натурального аргумента вычисления-го члена ряда по его номеру Из членов ряда (1.1) образуем числовую последовательность частичных сумм где - сумма первых членов ряда, которая называется n-й частичной суммой, т. е. Ряд (1.1) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм (1.5) имеет конечный предел, т. е. Ряд (1.1) называется расходящимся, если последовательность его частичных сумм не имеет конечного предела.Существуют сходящиеся ряды (условно сходящиеся, которые будут рассмотрены в разделе 5), для которых, как показал Риман*, меняя надлежащим образом порядок следования их членов, можно сделать сумму ряда равной какому угодно числу, и даже расходящийся ряд. Сгруппировав его члены попарно, получим сходящийся числовой ряд с суммой, равной нулю: С другой стороны, сгруппировав его члены попарно, начиная со второго члена, получим также сходящийся ряд, но уже с суммой, равной единице: Сходящиеся ряды обладают некоторыми свойствами, которые позволяют действовать с ними, как с конечными суммами. Если ряд (1.1) сходится, то его общий член стремится к нулю при неограниченном возрастании n, т. е. Сходящийся ряд можно умножать на число, т. е., если ряд (1.1) сходится, имеет сумму S и c - некоторое число, тогда Доказательство следует из того, что для конечных сумм справедливы равенства Сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать, т. е. если ряды , сходятся, то и ряд сходится и его сумма равна т. е.Например, как было показано выше ряд сходится, в то время как ряд расходится. Ряд (5.1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов. Сходящийся ряд (5.1) называется условно сходящимся, если ряд (5.2) расходится. Определение 6.2 Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд также сходится. Ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.Поэтому существуют достаточные признаки определения сходится ряд или расходится. Здесь будем рассматривать ряды (1.1) с положительными (неотрицательными) членами, т. е. ряды, для которых Такие ряды будем называть положительными рядами. Тогда в силу свойств таких последовательностей следует, что она имеет конечный предел, т. е. ряд (3.1) сходится. Тогда, если ряд (3.2) сходится, то в силу доказанного выше пункта 1 сходился бы и исходный ряд, что противоречит нашему условию. Этот признак удобно применять к определению сходимости рядов, сравнивая их с рядами, сходимость которых уже известна.В этой курсовой работе приведены того как числовые ряды позвлояют решит важные задачи математической физики.

Содержание

Первая глава (Теоретический обзор по теме)

1.Введение

2 .Определение числового ряда. Сходимость

3. Основные свойства числовых рядов

4. Знакочередующиеся ряды

5. Признак сходимости Лейбница

6. Знакопеременные ряды

Вторая глава

1.Ряды с положительными членами.

Признаки сходимости

3. Третья глава (Расчетные задания)

1. Расчетное задание 1 (Числовые и функциональные ряды)

2. Расчетное задание 2 (Ряды и интеграл Фурье)

Заключения

5. Список используемой литературы