Ряды Фурье - Реферат

МОСКОВСКИЙ ВОЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Выполнил курсантПервые труды Фурье относятся к алгебре. Уже в лекциях 1796 он изложил теорему о числе действительных корней алгебраического уравнения, лежащих между данными границами (опубл. 1820), названную его именем; полное решение о числе действительных корней алгебраического уравнения было получено в 1829 Ж.Ш.Ф. Штурмом. В 1818 Фурье исследовал вопрос об условиях применимости разработанного Ньютоном метода численного решения уравнений, не зная об аналогичных результатах, полученных в 1768 французским математиком Ж.Р. Мурайлем. Итогом работ Фурье по численным методам решения уравнений является «Анализ определенных уравнений», изданный посмертно в 1831.Функция f(x), определенная на всей числовой оси называется периодической, если существует такое число , что при любом значении х выполняется равенство . Отметим некоторые с в о й с т в а этой функции: 1) Сумма, разность, произведение и частное периодических функций периода Т есть периодическая функция периода Т.Если f(x) разлагается на отрезке в равномерно сходящийся тригонометрический ряд: (1) то это разложение единственное и коэффициенты определяются по формулам: , где n=1,2, . .Точка разрыва функции называют точкой разрыва первого рода, если существует конечные пределы справа и слева этой функции в данной точке.Таким образом, в ряде Фурье для четной функции отсутствуют члены с синусами, и ряд Фурье для четной функции с периодом 2L выглядит так: Пусть теперь f(x) - нечетная функция с периодом 2L, удовлетворяющая условию f(-x) = - f(x). Таким образом, в ряде Фурье для нечетной функции отсутствует свободный член и члены с косинусами, и ряд Фурье для нечетной функции с периодом 2L выглядит так: Если функция f(x) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на промежутке то где , , , Если f(x) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на [0,L], то доопределив заданную функцию f(x) соответствующим образом на [-L,0]; далее периодически продолжив на (T=2L), получим новую функцию, которую разлагаем в тригонометрический ряд Фурье.Последовательность функций непрерывных на отрезке [a,b], называется ортогональной системой функции на отрезке [a,b], если все функции последовательности попарно ортогональны на этом отрезке, т. е. если Система называется ортогональной и нормированной (ортонормированной) на отрезке [a,b], если выполняется условие Рядом Фурье такой функции f(x) на отрезке [a,b] по ортогональной системе называется ряд: коэффициенты которого определяются равенством: n=1,2,...Пусть в состоянии равновесия натянута струна длинной l с концами x=0 и x=l. Предположим, что струна выведена из состояния равновесия и совершает свободные колебания. При сделанных выше допущениях можно показать, что функция u(x,t) , характеризующая положение струны в каждый момент времени t, удовлетворяет уравнению Наша з а д а ч а - найти функцию u(x,t) , график которой дает форму струны в любой момент времени t, т. е. найти решение уравнения (1) при граничных: (2) и начальных условиях: (3) Подстановка выражения (4) в уравнение (1) дает: Из которого наша задача сводится к отысканию решений уравнений: Используя это условие X(0)=0, X(l)=0, докажем, что отрицательное число, разобрав все случаи. a) Пусть Тогда X”=0 и его общее решение запишется так: откуда и ,что невозможно , так как мы рассматриваем решения, не обращающиеся тождественно в нуль. б) Пусть .

Оглавление

Введение

1. Основные сведения

2. Тригонометрический ряд. Ряд Фурье

3. Достаточные признаки разложимости функции в ряд Фурье

4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций

5. Ряд Фурье по любой ортогональной системе функций

6. Задача о колебании струны

Список рекомендуемой литературы