Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление - Учебное пособие

Из теории Фурье известно, что при некотором воздействии на физические, технические и другие системы, его результат повторяет форму начального входного сигнала, отличаясь только масштабным коэффициентом. Понятно, что на такие сигналы (их называют собственными) система реагирует наиболее простым образом.IMG_1698a1c6-d6c1-4127-9ae2-0d248e6ed4feЗдесь приведены краткие сведения из векторной алгебры, необходимые для лучшего понимания основных положений теории рядов Фурье. Рассмотрим множество W геометрических векторов (векторное пространство), для которого обычным образом введены понятие равенства векторов, линейные операции (сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число) и операции скалярного умножения векторов. Введем в пространстве W ортогональный базис, состоящий из трех попарно ортогональных векторов Коэффициенты li (i = 1, 2, 3), называемые координатами вектора IMG_c84b93be-abae-4f0e-96ed-6d3150c8d61c , следовательно, в правой части последнего равенства отлично от нуля лишь одно слагаемое, соответствующееIMG_d1b690f0-54a7-48af-a39e-5321af124258 множество функций, кусочно-непрерывных на промежутке [a, b], т.е. функций, имеющих на промежутке [a, b] конечное число точек разрыва первого рода и непрерывных во всех остальных точках этого промежутка. Свойства скалярного произведения функций полностью совпадают со свойствами скалярного произведения векторов: 1. Таким образом, скалярное произведение линейно зависит от своих компонентов. Это свойство называется билинейностью скалярного произведения. Свойства нормы функции во многом совпадают со свойствами модуля вектора: 1.(3.2) называется рядом Фурье для функции Тем не менее, частичные суммы ряда (3.2), называемые полиномами Фурье, играют важную роль в задаче аппроксимации функции Ясно, что чем меньше величина ?, тем ближе располагаются друг к другу графики функций IMG_d2a16179-b8ec-43fa-b2df-a16f069b1b14 - частичная сумма ряда Фурье (3.2), то говорят, что ряд (3.2) сходится в среднем к функции IMG_4cdb529f-8e1e-40b0-a874-4efdefeb1285 ряд Фурье сходится в среднем к этой функции, то ортогональная системаIMG_2d13c1aa-cd40-4cf3-958b-ea2a215cd45a , если этот промежуток можно разделить на конечное число частей, на каждой из которых функция монотонна. Для таких функций справедлива принимаемая нами без доказательства следующая теорема. IMG_a48d185d-33b1-4804-a504-85a553b528b5 удовлетворяет условиям Дирихле на промежутке [-L, L], то ее ряд Фурье (5.2) сходится во всех точках этого промежутка. Если доопределить (или переопределить) функцию При этом амплитуды и начальные фазы слагаемых гармоник зависят от разлагаемой функции, а частотный спектр одинаков для всех функций, заданных на одном и том же промежутке.Легко видеть, что произведение двух четных или двух нечетных функций - четная функция, а произведение четной и нечетной функций - нечетная функция. Предлагаем доказать самостоятельно следующие свойства определенного интеграла: а) если функция Ряд Фурье для функции, заданной на промежутке [0, L] Построим четное продолжение данной функции на промежуток [-L, 0], полагая На промежутке [0, L] ряды (8.1) и (8.3) представляют одну и ту же функциюIMG_d840446f-a08f-4133-bb4b-2b6d46c61f43 - функция, комплексно сопряженная с функцией Как и ранее, функции f и g будем называть ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Определение нормы функции оставим прежним, так что IMG_1c3bfb81-6e4d-4501-aa71-539076cc7fd3 . IMG_0e51166e-5d6e-4df8-b9e4-672fdfea6c43 . Сопоставим функции Сходимость ряда в среднем и замкнутость системы функций определяются точно так же, как в § 3: а) если для некоторой функцииПусть вещественная функция удовлетворяет условиям Дирихле на промежутке [-L, L]. Запишем ее разложение в тригонометрический ряд Фурье: , (10.1) где Если в (10.1) выразить и через показательную функцию от мнимого аргумента: то получим ряд Ряд (10.3) с коэффициентами (10.4) называется тригонометрическим рядом Фурье в комплексной форме. Разложить функцию , где - комплексное число, в ряд Фурье на промежутке .IMG_40768883-bcf9-4199-bad4-47d523ddbc2dСчитая, что на произвольном конечном промежутке [-L, L] заданная функция удовлетворяет условиям Дирихле, представим ее тригонометрическим рядом Фурье в комплексной форме: IMG_cb2efcfd-70f4-4696-a098-4677d4257544 , (11.1) где IMG_d66aa006-db28-4918-939c-f49753bf78c2 вместо ряда получим интеграл Формула (11.4) называется интегральной формулой Фурье, а ее правая часть - интегралом Фурье. Рассуждения, с помощью которых получена формула (11.4), не являются строгими и имеют лишь наводящий характер. Условия, при которых справедлива интегральная формула Фурье, устанавливает теорема, принимаемая нами без доказательства.IMG_4c9045d0-69a1-4bcd-997c-674b8c1a155b непрерывна и абсолютно интегрируема на всей оси, то функция IMG_25f7f21c-858c-439f-8df3-0cff39dc6d24 . Действительно, так как IMG_5ecccf46-305d-493a-8324-d1bfd45bbba3 , то IMG_7dc9d86a-a146-4d01-a939-294267f1a34a , (12.2) и, поскольку интеграл справа сходится, то сходится интеграл сл

Из теории Фурье известно, что при некотором воздействии на физические, технические и другие системы, его результат повторяет форму начального входного сигнала, отличаясь только масштабным коэффициентом. Понятно, что на такие сигналы (их называют собственными) система реагирует наиболее простым образом. Если произвольный входной сигнал есть линейная комбинация собственных сигналов, а система линейна, то реакция системы на этот произвольный сигнал есть сумма реакций на собственные сигналы. И поэтому полную информацию о системе можно получить по «кирпичикам» - откликам системы на собственные входные сигналы. Так поступают, например, в электротехнике, когда вводят частотную характеристику системы (передаточную функцию). Для наиболее простых линейных, инвариантных во времени систем (например, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами) в некоторых случаях собственными функциями являются гармоники вида . Таким образом можно получить и результат произвольного воздействия на систему, если последний будет представлен в виде линейной комбинации гармоник (в общем случае, в виде ряда Фурье или интеграла Фурье). Вот одна из причин, по которой в теории и приложениях возникает потребность применения понятия тригонометрического ряда (ряда Фурье) или интеграла Фурье.