Використання області допустимих значень при розв’язуванні ірраціональних нерівностей. Пошук та дослідження похідної підкореневої функції. Вживання методів інтервалів та рівносильних переходів. Введення заміни шуканої змінної для спрощення нерівності.
Потреба в діях піднесення до степеня і добування кореня була викликана, як і інші чотири арифметичні дії, практичним життям. Ще Вавілоняни володіли технікою розвязання квадратних рівнянь. При обчисленнях широко використовуються таблиці множення, зворотних величин, квадратних і кубічних коренів. Вочевидь, застосовувалася формула наближеного обчислення квадратних коренів з неквадратних чисел (метод Герону): . Евдокс увів аксіому, відому тепер як аксіома Архімеда: «Кажуть, що величини мають відношення між собою, якщо вони, взяті кратно, можуть перевищити один одного ».-·під час розвязування нерівностей цього виду доводиться робити перетворення, що призводять до нерівностей не рівносильних даним, у наслідок чого виникають помилки, які зазвичай повязані із утратою чи появою сторонніх коренів у процесі розвязування. Основною проблемою при розвязуванні таких рівнянь і нерівностей є пошук найкоротшого шляху, що приводить до більш простої еквівалентної задачі, але вже не містить радикалів. Означення 1.2 Коренем n-го степеня з числа a називається число b, таке що =a, n Нехай число ? є коренем даної нерівності. Нехай число ? є розвязком системи, тобто Звідси отримуємо, що З того, що невідємні числа і рівні, випливає, що >g(?).Область визначення функції - це множина всіх допустимих дійсних значень аргументу х (змінної х), при яких функція у=f(x) визначена. Область визначення іноді ще називають областю допустимих значень функції (ОДЗ). Іноді знаючи ОДЗ вдається довести, що нерівність не має розвязків, а іноді дозволяє знайти розвязки нерівності безпосередньою підстановкою чисел з ОДЗ.Якщо функція визначена і неперервна на деякому інтервалі і не має на ньому нулів, то вона зберігає знак на цьому інтервалі. Для цього: 1)знаходимо область визначення функції (x); 4) встановлюємо знак функції f(x) на кожному інтервалі (наприклад, підстановкою деякого значення х з інтервалу , що розглядається); 5) записуємо розвязки нерівності (розвязками даної нерівності будуть ті інтервали, на яких знак функції збігається зі знаком нерівності, що розвязується.[7:с.20] Розібємо область визначення нашою функції нулями на інтервали, отримаємо: Перевіримо, чи є правильною нерівність при х=0 та х=5: х=0: 2 х=5: Перевіримо, знак функції (додатній чи відємний) на кожному із інтервалів. f(1): = - додатній.Основна мета - позбавитись від знаку радикала,за допомогою рівносильних перетворень, й надалі розвязувати нерівність, яка вже не є ірраціональною. Для розвязання нерівностей методом рівносильних переходів використаємо теореми з пункту 1. Розвязати нерівність Розвязати нерівністьЦей метод дозволяє значно спростити нерівність і звести розвязання до методу рівносильних переходів, методу інтервалів, або й зовсім до розвязування лінійної нерівності. Розвязати нерівність Запишемо нерівність у вигляді і зробимо заміну (підстановку)Дуже часто при розвязуванні ірраціональних нерівностей доцільно скористатися графіками функцій. Використання графіків перетворює процес розвязування з формально-арифметичного на наочно геометричний і значно зменшує ймовірність помилок. Розвязання: переписавши нерівність у вигляді побудуємо графіки функцій f(x)= і g(x)= . З даного малюнка зразу видно, що відповіддю буде проміжок [-4;5].Теорема 2.1 Нехай f(х) - строго зростає на всій області визначення і f( =0, тоді має місце еквівалентність: Якщо f(х) - строго спадна на всій області визначення , то Нерівності протилежного знаку та нестрогі нерівності розглядаються аналогічно. Для доведення теореми достатньо зауважити ,що строго зростаюча (строго спадна) функція в різних точках приймає різні значення. Звідки випливає , що якщо вдається вгадати або швидко підібрати один корінь подібного рівняння і показати, що інших коренів немає , то цей корінь і буде розвязком даного рівняння .[5:c.19]. Нехай , і похідна неперервна на усьому інтервалі. Тоді строго зростає на інтервалі тоді і тільки тоді, коли виконуються наступні дві умови: 1.У таких випадках доцільніше використовувати нестандартні методи розвязання ірраціональних нерівностей. Розвязати нерівність Зробимо заміну: х=tgt, t , тоді маємо: Перепишемо нерівність: Домножимо обидві частини на 2 : Нехай = , тоді Зобразимо нулі на координатній прямій, та знайдемо знак у кожному інтервалі, відповіддю буде обєднання усіх інтервалів з додатнім знаком. При знаходженні нулів функції для розвязування рівняння доцільно використати властивості відповідних функцій, зокрема, оцінку лівої і правої частини рівняння видуЯ вважаю, що тема моєї роботи розкрита у повному обсязі та мета курсової роботи досягнута. Систематизовані основні методи розвязання нерівностей, які розглядаються у шкільному курсі математики та вищий школі, різноманітного вигляду, до кожного методу наведені приклади розвязання.
План
Зміст
Вступ
1. Ірраціональні нерівності
2. Методи розвязування ірраціональних нерівностей
2.1 Методи розвязування ірраціональних нерівностей в шкільному курсі математики
2.1.1 Використання області допустимих значень при розвязуванні ірраціональних нерівностей
2.1.2 Метод інтервалів
2.1.3 Метод рівносильних переходів
2.1.4 Метод заміни - введення нової змінної
2.1.5 Графічний метод розвязування ірраціональних нерівностей
2.1.6 Методи розвязування нерівностей з параметрами
2.2 Методи розвязування нерівностей у вищій школі
2.2.1 Використання властивостей функцій при розвязуванні ірраціональних нерівностей
Я вважаю, що тема моєї роботи розкрита у повному обсязі та мета курсової роботи досягнута. У процесі дослідження були отримані такі висновки та результати: 1. Систематизовані основні методи розвязання нерівностей, які розглядаються у шкільному курсі математики та вищий школі, різноманітного вигляду, до кожного методу наведені приклади розвязання.
2. Наведені приклади нестандартного розвязання ірраціональних нерівностей, за допомогою комбінування різноманітних стандартних методів, що призводять до найкоротшого шляху розвязання.
3. Матеріали курсової роботи можуть бути використані з метою самоосвіти, адже в роботі міститься також список літератури за темою роботи та приклади різноманітних завдань.
Продовження дослідження може полягати у вивченні методів розвязання трансцендентних нерівностей з коренями , застосуванні інтегралів, використанні різноманітних штучних методів та інших нестандартних способів розвязання рівнянь і нерівностей ірраціональний нерівність підкореневий
Список литературы
1. Гильмуллин М.Ф. История математики: Учебное пособие /М.Ф. Гильмуллин. - Елабуга: Изд-во ЕГПУ, 2009. - 212 с.
2. Иванова Т.Д. Методы решения иррациональных неравенств: Методическое пособие для учащихся 9-11 классов /сост. Иванова Т.Д.- Сунтар Сунтарского улуса, 2007, - 56 с.
3. Канунников А. Л. Уравнения и неравенства:Методическая разработка для учащихся заочного отделения Малого механико-математического факультета -М.: Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, 2008 .-64 с., ил.
4. Мерзляк А.Г. Алгебра і початки аналізу: підруч. Для 10 кл. з поглибленим вивченням математики / А.Г. Мерзляк, Д.А. Номіровський, В.Б. Полонський, М.С. Якір. - Х.: Гімназія,2010. - 415 с.: іл.
5. Рождественский В. В. Иррациональные уравнения и неравенства: Методическая разработка для учащихся заочного отделения МММФ/ В. В. Рождественский. - М.: Изд-во центраприкладныхисследований при механико-математическом факультете МГУ, 2007. - 20 с.: ил.
6. Самаров К. Л. Решение иррациональных неравенств: Учебно-методическое пособие / К.Л. Самаров.-Учебный центр «Резольвента», 2010. -11с.
7. Тимошенко О. І. Деякі методи розвязування ірраціональних нерівностей. Математика в школі.//К. «Педагогічна преса». №6 - с.16-22.
Размещено на .ru
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
