Розв’язання систем лінійних рівнянь методом Жордана-Гауса. Еквівалентні перетворення системи, їх виконання як елемент методів розв’язування системи рівнянь. Базисні та вільні змінні. Лінійна та фундаментальна комбінації розв’язків, таблиці коефіцієнтів.
При розвязуванні системи лінійних алгебраїчних рівнянь можливі такі випадки: а) система має єдиний розвязок; б) система має безліч розвязків; в) система не має розвязків. Випадок, коли система має кінцеве число розвязків більше одного неможливий. У випадку сумісності системи система має єдиний розвязок (визначена), коли і нескінченну кількість розвязків (невизначена), коли , де - кількість невідомих.Система рівнянь (1) називається сумісною, якщо вона має принаймні один розвязок, і несумісною, якщо вона не має розвязків. Система рівнянь називається визначеною, якщо вона має лише один розвязок, і невизначеною, якщо вона має безліч розвязків. Дві системи рівнянь з однаковими невідомими називаються рівносильними, якщо кожний розвязок однієї системи є розвязком іншої системи або якщо ці системи рівнянь несумісні. Будь-який метод розвязування системи рівнянь (1) передбачає виконання еквівалентних її перетворень, завдяки яким вона зводиться до такого вигляду, що розвязок уже легко знайти. Для того щоб система рівнянь (1) була сумісною, тобто мала принаймні один розвязок, необхідно і достатньо, щоб вектор був лінійною комбінацією векторів , тобто щоб ранг r системи векторів дорівнював рангу розширеної системи векторів .Метод Гауса розвязування системи лінійних алгебраїчних рівнянь полягає в послідовному виключенні змінних і перетворенні системи рівнянь Якщо ця умова не виконується, то на перше місце переносимо таке рівняння, щоб виконувалась умова . Далі перший рядок множимо послідовно на а21 і віднімаємо від другого рядка, множимо на а31 і віднімаємо від третього рядка і т.д. , помножимо другий рядок послідовно на і віднімемо від третього рядка; на і віднімемо від четвертого рядка і т.д. Дістанемо таблицю коефіцієнтів: Продовжуючи процес виключення невідомих, дістаємо нарешті таблицю: Таблиця коефіцієнтів при невідомих набирає трикутного вигляду.Утворимо відповідну таблицю коефіцієнтів: Поділивши перший рядок на 2, дістанемо таблицю: Перший рядок додамо до другого. Далі помножимо перший рядок на 3 і віднімемо від третього рядка. Утворимо таблицю: Поділимо другий рядок на 7/2: Помножимо другий рядок на 1/2, віднімемо від першого рядка і додамо до третього. Дістанемо: Поділивши третій рядок на 4/7, запишемо: Помножимо третій рядок на 4/7 і віднімемо від першого рядка. Утворимо таблицю коефіцієнтів системи: Перший рядок віднімемо від другого, далі перший рядок помножимо на 2 і віднімемо від третього.Ідея методу Гауса полягає в наступному: за допомогою елементарних перетворень система приводиться до ступінчатої системи наступного вигляду де . Якщо , то ступінчату систему називають трикутною, якщо , то систему називають трапецевидною. Елементарні перетворення зручно виконувати не над самою системою (1), а над її розширеною матрицею. Слід звернути увагу, щоб елементарні перетворення над розширеною матрицею співпадали з елементарними перетвореннями над системою. Так, наприклад, не можна до елементів стовпця матриці додавати відповідно елементи другого стовпця, помножені на деяке число, так як такого елементарного перетворення системи не існує.
План
Зміст
Вступ
1. Розвязання систем лінійних рівнянь методом Жордана-Гауса
2. Метод Гауса
3. Метод Жордана-Гауса
Висновки
Список використаних джерел
Вывод
Метод Жордана-Гауса називають також методом послідовного виключення невідомих системи. Ідея методу Гауса полягає в наступному: за допомогою елементарних перетворень система приводиться до ступінчатої системи наступного вигляду де .
Якщо , то ступінчату систему називають трикутною, якщо , то систему називають трапецевидною.
Ступінчату систему легко дослідити сумісна вона чи ні. Якщо ступінчата система містить хоч би одне рівняння виду , то система несумісна.
Елементарні перетворення зручно виконувати не над самою системою (1), а над її розширеною матрицею. Слід звернути увагу, щоб елементарні перетворення над розширеною матрицею співпадали з елементарними перетвореннями над системою. Так, наприклад, не можна до елементів стовпця матриці додавати відповідно елементи другого стовпця, помножені на деяке число, так як такого елементарного перетворення системи не існує.
Трикутна система має єдиний розвязок. Із останнього рівняння знаходимо , потім, підставляючи його значення в попереднє рівняння, знаходимо . Далі аналогічним шляхом знаходимо .
Трапецевидна система має нескінченну множину розвязків. В цьому випадку змінні вважаються вільними і їх переносимо в праві частини рівнянь, тоді головні змінні в процесі розвязку системи будуть лінійними функціями змінних .
Слід відмітити, що метод Гауса застосовується і для розвязку однорідних систем у випадку, коли і ранг матриці системи менше , а також для розвязку систем, у яких число рівнянь більше числа невідомих.
Метод Жордана-Гауса полягає у зведенні системи до діагонального вигляду. Отримуємо одразу значення всіх (якщо система визначена) або базисних (якщо система невизначена) невідомих змінних.
Якщо в отриманому розвязку сумісної невизначеної системи надати довільні числові значення незалежним невідомим і обчислити залежні, то отримаємо частинний розвязок системи.
