Розв’язання диференційного рівняння коливань струни - Курсовая работа

В даній курсовій роботі розглядається рівняння коливання струни. При вивчені рівняння коливань струни на курсі механіки, студенти користуються ідеалізацією, спрощений та другим законом Ньютона. У курсі ж математичного аналізу розвязок рівнянь коливань струни легко розвязати методом характеристик чи методом Фурє. Коливання і хвилі різні явища, що виникають від руху. Він визначив, що коливання струни являє хвилю, що стоїть, через обмеження опорами, звідси береться в розрахунок половина струни.Якщо вивести струну з положення рівноваги (наприклад, відтягнути її або вдарити по ній), то струна почне коливатися. Будемо припускати, що всі точки струни рухаються перпендикулярно її положенню рівноваги (поперечні коливання), причому в кожен момент часу струна лежить в одній і тій самій площині. При кожному фіксованому значенні графік функції представляє форму коливання струни у момент часу , часткова похідна дає при цьому кутовий коефіцієнт дотичної в точці с абсцис . Завдання курсової полягає в тому, щоб скласти рівняння, яке повинно задовольняти функція Будемо вважати струну абсолютно гнучкою, тобто вона не чинить опір вигину; це означає, що якщо видалити частину струни, що лежить по одну сторону від будь-якої її точки, то сила натягу , яка замінює дію віддаленій частині, завжди буде спрямована по дотичній до струни. Струна, передбачається пружною і підкоряється закону Гука; зміна величини сили натягу при цьому пропорційно зміні довжини струни.При розгляді задачі про коливання струни додаткові умови можуть бути двох видів: початкові та кінцеві (або граничні). Початкові умови показують, в якому стані перебувала струна в момент початку коливання. Зручніше вважати, що струна почала коливатися в момент часу (). Первинне положення точок струни задається умовою Нехай, наприклад, струну, закріплену на кінцях, як-то відтягнули, тобто поставили функцію - рівняння початковому форми струни, і відпустили без початкової швидкості (це означає, що ).Хоча, С і було розроблено для написання системного програмного забезпечення, наразі вона досить часто використовується для написання прикладного програмного забезпечення. С імовірно, є найпопулярнішою у світі мовою програмування за кількістю вже написаного на ній програмного забезпечення, доступного під вільними ліцензіями коду та кількості програмістів, котрі її знають. Серед її головних цілей: можливість прямолінійної реалізації компіляції, використовуючи відносно простий компілятор, забезпечити низькорівневий доступ до оперативної памяті, формувати лише декілька інструкцій машинної мови для кожного елементу мови, і не вимагати обширної динамічної підтримки. Сумісна зі стандартами та машинно-незалежно написана мовою С програма, може легко компілюватися на великій кількості апаратних платформ та операційних систем з мінімальними змінами. Мова С має можливості для структурного програмування і дозволяє здійснювати рекурсії, у той час, як система статичної типізації даних запобігає виникненню багатьох непередбачуваних операції.Для скорочення запису ми не пишемо аргументів функцій і Підставляючи вирази для похідних в рівняння (2.1), отримаємо або, ділячи обидві частини рівності на , (2.5) Щоб функція була розвязком рівняння (2.1), рівність (2.5) повинна дотримуватися при всіх значеннях і . Оскільки ми шукаємо часткові розвязки, що задовольняють кінцевим умовам (3.3), то при будь-якому значенні повинні дотримуватися рівності Якщо б перетворювався в нуль другий множник, то розвязок дорівнював б нулю при всіх значеннях і . Зрозуміло, це завдання за будь-якого має розвязок, тотожно рівне нулю: .Цей метод заснований на визначенні похідної функції : Якщо є функція , то часткова похідна буде наступна: Тоді попередні вирази можна записати так: Ці вирази називають правими диференціалами. Підсумувавши обидва вирази отримаємо наступне: з яких одержуємо: Аналогічно можна одержати і диференціали другого порядку: Рівняння коливань струни записується в такій формі: Додаткові умови задаються у вигляді: , де і - позиції кінців (кріплень) струни в часі, а і - початковий стан і швидкість струни з якої ми можемо отримати стан струни в наступний момент часу за формулою Значення функції для інших і можна обчислити з рівняння коливань струни: Таким чином, ми одержали схему, за якою можна знайти значення функції для будь-яких і , використовуючи значення функції при попередніх і .Розглянемо розвязок задачі на метод Фурє(вільні коливання струни). Умова задачі: розвязати задачу про коливання струни із закріпленими кінцями, якщо початкові швидкості точок дорівнюють нулю, зовнішні сили відсутні, а початкове відхилення має форму параболи, віссю симетрії якої слугує пряма , а вершиною - точка Розвязок: Складемо рівняння, що описує коливання цієї струни: В даному випадку: а) Так як кінці закріплені, то б) Початкові швидкості точок дорівнює нулю: . в) Початкове відхилення має форму параболи, віссю симетрії якої слугує пряма , а вершиною - точка Складемо рівняння цієї параболи.

ЗМІСТ

Вступ

1. РІВНЯННЯ КОЛИВАНЬ СТРУНИ

1.1 Виведення рівняння коливань струни

1.2 Постановка початкових і кінцевих умов

1.3 Програмне середовище

2. Метод Фурє

2.1 Приклад аналітичного розвязку рівняння коливань струни

2.2 Чисельний розвязок рівняння параболічного типу

2.3 Постановка та розвязок задачі

3. Розвязок задачі мовою С

3.1 Блок схема програми

3.2 Програма

ВИСНОВКИ

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ