Обчислення довжини дуги меридіану та паралелі. Наближене розв"язування трикутників за теоремою Лежандра та способом аддитаментів. Пряма задача проекції Гауса-Крюгера і розрахунок геодезичних координат пункту за плоскими прямокутними координатами.
Вивчення геометрії земного еліпсоїда та методів розвязування задач на його поверхні складає вагому частину змісту курсів "Основи вищої геодезії" та "Вища геодезія". Вища геодезія вивчає фігуру та зовнішнє гравітаційне поле Землі, методи створення систем геодезичних координат на всю поверхню Землі або на окремі її ділянки, а також способи визначення положення точок земної поверхні в тій чи іншій системі координат. Радіус r паралелі з широтою В виражається формулою: N - радіус кривизни перерізу першого вертикалу. Тому обчислення натуральних розмірів та площі знімальної трапеції - це визначення частини поверхні еліпсоїду в межах ліній меридіанів та паралелей, які окреслюють лист карти заданого масштабу. Розміри знімальної трапеції на поверхні еліпсоїду описуються наступними параметрами: - південна a1 та північна a2 сторони, які на поверхні еліпсоїду є дугами паралелей з широтами B1 і B2, та окреслюються меридіанами з довготами L1 і L2;Для розвязування оберненої геодезичної задачі, в якій за значенням геодезичних координат B1, L1 та B2, L2 пунктів А та В розраховують значення азимутів А12, А21 та довжини s геодезичної лінії АВ, найбільш оптимально використовувати обернений алгоритм розвязування за формулами Гауса із середніми аргументами. Прямою задачею Гауса - Крюгера називають розвязування завдання переходу з поверхні еліпсоїду на площину з метою визначення прямокутних координат пунктів, якщо вихідними даними є геодезичні координати B, L початкового пункту А, довжина геодезичної лінії s та азимуту ААВ вихідної сторони АВ мережі геодезичних пунктів. Наближені значення довжин на площині обчислюються з розвязування трикутників за теоремою Лежандра чи способом аддитаментів (див. результати розрахунків завдань № 4,5). За поправками ? і виміряними сферичними кутами можна розрахувати виміряні кути у вершинах трикутників, редуковані на площину. Розвязати пряму задачу проекції Гауса - Крюгера для мережі двох трикутників, зображених на схемі, геодезичні координати початкового пункту ВА, LA, азимут вихідної сторони ААВ, довжина геодезичної лінії вихідної сторони АВ, надані у вихідних даних.
План
ЗМІСТ трикутник лежандр аддитамент геодезичний
Вступ
Завдання 1. Обчислення довжини дуги меридіану
Завдання 2. Обчислення довжини дуги паралелі
Завдання 3. Обчислення довжини сторін та площі знімальної трапеції
Завдання 4. Наближене розвязування трикутників за теоремою Лежандра
Завдання 5. Наближене розвязування трикутників способом аддитаментів
Завдання 6. Розвязування прямої геодезичної задачі способом допоміжної точки (спосіб Шрейбера)
Завдання 7. Розвязування прямої геодезичної задачі за формулами Гауса із середніми аргументами
Завдання 8. Розвязування оберненої геодезичної задачі за формулами Гауса із середніми аргументами
Завдання 9. Пряма задача проекції Гауса-Крюгера (перехід з поверхні еліпсоїду на площину)
Завдання 10. Розрахунок геодезичних координат пункту за плоскими прямокутними координатами
Вступ
Вывод
Позначення дій Результати
49,4061393149?24?22.1"
26,5127178626?30?45.78"
205,26390252205?15?50"
Завдання 8. Розвязування оберненої геодезичної задачі за формулами Гауса із середніми аргументами
Для розвязування оберненої геодезичної задачі, в якій за значенням геодезичних координат B1, L1 та B2, L2 пунктів А та В розраховують значення азимутів А12, А21 та довжини s геодезичної лінії АВ, найбільш оптимально використовувати обернений алгоритм розвязування за формулами Гауса із середніми аргументами.
У порівнянні з іншими способами розвязування оберненої геодезичної задачі спосіб Гауса із середніми аргументами виділяється простотою робочих формул, тому розглядається як найбільш оптимальний.
Черговість дій при розвязуванні оберненої геодезичної задачі за формулами Гауса із середніми аргументами: 1. Обчислення різниць координат , та середньої широти .
2. Обчислення середнього азимуту Ам
, за знаками P та Q визначають четверть, в якій розташований напрям Ам.
3. Обчислення довжини геодезичної лінії або .
4. Обчислення зближення меридіанів t
.
5. Обчислення азимутів та .
Наведені формули за точністю результатів розрахунків дійсні для віддалей такого ж порядку, що й у прямій геодезичній задачі.
Геодезичні координати пункту В вибрано із завдання №7.
Сталі величини a 6378245 м e’2 0,00673853 ?? 57,29577951
Позначення дій Результати Позначення дій Результати
1. Обчислення різниць координат і середньої широти
0,45583067 49,17822397
0,32629811
2. Обчислення сумм поправочних коефіцієнтів
0,00000270?b1,00000348
0,00000264
0,00000077??0,99999814
3. Обчислення середнього азимуту Ам
6399698,916 23790,954
1,001438768 25,14043968
50695,072 25?8?25.58"
4. Обчислення довжини геодезичної лінії s
55999,998 м 55999,998 м
5. Обчислення зближення меридіанів t
0,24692546 1,00000720
0,24692724
6. Обчислення азимутів
25,01697606 205,26390330
25?1?1.11" 205?15?50"
Завдання 9. Пряма задача проекції Гауса-Крюгера (перехід з поверхні еліпсоїду на площину)
Прямою задачею Гауса - Крюгера називають розвязування завдання переходу з поверхні еліпсоїду на площину з метою визначення прямокутних координат пунктів, якщо вихідними даними є геодезичні координати B, L початкового пункту А, довжина геодезичної лінії s та азимуту ААВ вихідної сторони АВ мережі геодезичних пунктів.
Хід дій при розвязуванні прямої задачі Гауса - Крюгера: 1. Розрахунок номера зони n, довготи її осьового меридіану L0 та геодезичних координат ВА, ? початкового пункту А, віднесених до зони його розташування.
2. Розрахунок прямокутних координат х,у початкового пункту А за його геодезичними координатами в зоні ВА, ?:
,
де - радіус кривизни перерізу першого вертикалу;
- друга функція геодезичної широти точки А;
- радіус кривизни меридіанного перерізу при широті В = 90?;
X - довжина дуги осьового меридіану від екватора до паралелі з широтою ВА .
3. Розрахунок зближення меридіанів ? на площині у пункті А за геодезичними координатами ВА, ?: .
4. Розрахунок масштабу зображення m в пункті А на площині за геодезичними координатами ВА, ?:
5. Розрахунок наближених довжин сторін геодезичної мережі на площині за виміряними сферичними кутами і довжиною геодезичної лінії s вихідної сторони мережі.
Наближені значення довжин на площині обчислюються з розвязування трикутників за теоремою Лежандра чи способом аддитаментів (див. результати розрахунків завдань № 4,5).
6. Розрахунок наближених значень х",у" плоских прямокутних координат пунктів за координатами ХА,УА початкового пункту А, наближеним значенням ?АВ дирекційного кута вихідної сторони АВ, виправленими кутами та наближеними довжинами сторін трикутників на площині.
7. Редукція довжини геодезичної лінії s вихідної сторони АВ з еліпсоїду на площину.
S = s .
8. Редукція напрямів з еліпсоїду на площину.
Для редукції напряму з еліпсоїду на площину поправку ? завжди віднімають від виміряного напряму. Наприклад, остаточне значення дирекційного кута ?АВ вихідної сторони АВ на площині
.
За поправками ? і виміряними сферичними кутами можна розрахувати виміряні кути у вершинах трикутників, редуковані на площину.
9. Зрівноважування мережі і розрахунок остаточних значень х, у плоских прямокутних координат пунктів за координатами ХА,УА початкового пункту, дирекційиим кутом ?АВ та довжиною S вихідної сторони і зрівноваженими кутами та довжинами сторін трикутників на площині.
Розвязати пряму задачу проекції Гауса - Крюгера для мережі двох трикутників, зображених на схемі, геодезичні координати початкового пункту ВА, LA, азимут вихідної сторони ААВ, довжина геодезичної лінії вихідної сторони АВ, надані у вихідних даних.
Вихідні дані
№ трикутника Позначення кутів Виміряні сферичні кути
AAB = 1?01?01.111" 3?*8 25?01?01.111" 25,01697528 s = (60000 - 500*8) 56000 м
Сталі величини a 6378245 м b 6356863,019 e2 0.00669342 e’2 0,00673853
A 1,00505177 B 0,00506238 C 0,00001062 D 0,00000002 ?? 57,29577951 ?" 206264,8062
1. Обчислення номера зони, довгот осевого меридіану та початкового пункту А в зоні.
Позначення дій Результати Позначення дій Результати
4 5?11?11.11"
215,186419747
2. Обчислення прямокутних координат початкового пункту, масштабу зображень та зближення меридіанів за геодезичними координатами пункту в зоні і наближеного дирекційного кута вихідної сторони на площині: Позначення дій Результати Позначення дій Результати
6335552,727 379883,3465
0,85866001 12966,34118
0,00250716 0,00353380
-0,00000072 3,91128820
0 0,00460723
X 5424196,908 m 1,00177203
6399698,916XA5437177,406
1,00145202YA4879812,687
6390419,919?3,91593568
1,318720193?54?57.37"
0,00290614 21,10103960
0,0000084521?06?3.74"
3. Обчислення наближених довжин сторін трикутників на площині (результати в завданнях 4, 5).
Дирекційний кут вихідної сторони на площині 21?5?13.2"
7. Відомість обчислення поправок до виміряних сферичних кутів за кривизну зображення геодезичних ліній їх сторін на площині.
№ тр Вершини Поправки до напрямів сторін у вершинах кутів Поправки до виміряних сферичних кутів № тр Вершини Поправки до напрямів сторін у вершинах кутів Поправки до виміряних сферичних кутів
1 A -9,555" 51,092" -60,647" 2 C 58,317" 66,226" -7,909"
B -51,981" -64,334" 12,353" D 11,927" -60,072" 72,000"
C 66,226" 10,008" 56,218" B -64,334" -11,247" -53,087"
Контроль: 7,956"7,924" Контроль: 11,055"11,003"
8. Відомість зрівноважування трикутників та обчислення довжин сторін на площині.
№ тр. Верш. Виміряні сферичні кути - ? Виміряні плоскі кути - w/3 Зрівноважені плоскі кути Синуси кутів Довжини сторін
1 C 49?59?51.20" -56,218 49?58?54.98" 1,678 49?58?56.66" 0,76584702 56104,621
B 51?33?02.51" -12,353 51?32?50.16" 1,678 51?32?51.83" 0,78312649 57370,485
A 78?27?09.18" 60,647 78?28?09.83" 1,678 78?28?11.51" 0,97981970 71779,887
Вершини Зрівноважені плоскі кути Дирекційні кути сторін Довжини сторін Прямокутні координати вершин xi yi
B 201?05?12.65"
A 78?28?11.51" 5437177,406 4879812,687
99?33?24.16" 57370,485
C 118?47?1.92" 5427652,544 4936386,970
38?20?26.07" 65529,244
D 59?24?10.12" 5479049,572 4977037,030
277?44?36.3" 77747,822
B 103?20?36.4" 5489525,045 4899998,155
201?05?12.65" 56104,621
A 5437177,406 4879812,687
Завдання 10. Розрахунок геодезичних координат пункту за плоскими прямокутними координатами
За своїм змістом поставлене завдання є частиною оберненої задачі проекції Гауса - Крюгера, яка має на меті здійснення переходу з площини на поверхню еліпсоїду з обчисленням геодезичних координат B,L, якщо вихідними даними є прямокутні координати х,у геодезичних пунктів.
Абсциса x точки а на площині виражається відрізком, який відповідає довжині дуги осьового меридіану від екватора до точки а1 з широтою В1.
Широту В1 можна обчислити за довжиною дуги меридіану, що відповідає х. Тут можна скористатись формулою обчислення довжини дуги меридіану вигляду (5) і виразити з неї потрібну широту В1, прийнявши s = x. Отже, В1 - широта основи ординати точки у = 0:
По мірі віддалення від осьового меридіану на величину ординати у для широти В точки А має місце нерівність В < В1. Широті В відповідає довжина дуги Х осьового меридіану від екватора до паралелі точки А. Тому остаточно потрібна широта точки А залежатиме від В1 та ординати у точки в зоні проекції Гауса - Крюгера:
, де - радіус кривизни меридіанного перерізу; - радіус кривизни перерізу першого вертикалу; - радіус кривизни меридіанного перерізу в полюсі; - друга функція широти B1.
Довгота ? точки А в зоні проекції Гауса - Крюгера:
Довгота точки на поверхні еліпсоїду: L = L0 ?.
Вихідні дані
Плоскі прямокутні координати пункту B XB (м) 5489525,045 YB (м) 4899998,155
Сталі величини a 6378245 м e’2 0,00673853 ?" 206264,8062
Відомість обчислення широти В1
Позначення дій Результати в наближеннях
(1) (2) (3) (4) (5)
0.0007114572 -0,0006-0,0006-0,0006-0,0006
0.5451113292 -0,1646-0,1698-0,1698-0,1698
519.4709177 513,3693512,9677512,9680512,9680
0.032930760 x 177822,6020 177822,6020 177822,6020 177822,6020 177822,6020
