Розробка програми для алгоритму знаходження власних векторів і власних значень методом обертань Якобі - Курсовая работа

Системи лінійних алгебраїчних рівнянь виникають як проміжний або остаточний етап при вирішенні ряду прикладних задач, що описуються диференціальними, інтегральними або системами нелінійних (трансцендентних) рівнянь. Вони можуть зявлятися як етап в задачах математичного програмування, статистичної обробки даних, апроксимації функцій, при дискретизації крайових диференціальних задач методом кінцевих різниць, методом кінцевих елементів, проекційними методами, в методі граничних елементів, дискретних особливостей, панельному методі аеродинамічного компонування літального апарату і т. д.Завдання даної курсової роботи полягає в розробці програми для алгоритму знаходження власних векторів і власних значень методом обертань Якобі. Друге завдання розробка функції що дозволяє знаходити власні вектори та власні значення методом Якобі.IMG_cca6fe4d-8ea8-4638-8cb0-f066ed7e4ac7 , то число l називається власним значенням матриці, а ненульовий вектор х - відповідним йому власним вектором. Значить, існує n власних значень - коренів цього многочлена, серед яких можуть бути однакові (кратні). Тоді кожному простому (не кратному) власному значенню відповідає один (з точністю до напрямку) власний вектор, а сукупність всіх власних векторів, що відповідають сукупності простих власних значень, лінійно-незалежна. Таким чином, якщо всі власні значення матриці прості, то вона має п лінійно-незалежних власних векторів, які утворюють базис простору. Третя матриця має так звану канонічну жорданову форму (по діагоналі стоять або числа, або жорданові підматриці, а інші елементи дорівнюють нулеві).IMG_c77f379c-7709-4a98-afe5-2ef928d009a4 ) і вирішує повну проблему власних значень і власних векторів таких матриць. Алгоритм методу обертання наступний: Нехай відома матриця Вибирається максимальний по модулю недіагональні елемент Ставиться завдання знайти таку ортогональную матрицю У матриці обертання на перетині i - го рядка і j - го стовпця знаходиться елементКористувач вводить розмірність матриці(N). Коли значення введені перевіряється функцією(ISSIMMETRIAL) чи матриця симетрична.Console.Write("Метод обертання Якобі."); Console.Write("\NВВЕДIТЬ елементи матриці:

"); Console.Write(" [{0}] ", coefficients[i, j]); Console.Write("Матриця не симетрична

"); Console.Write(coefficients[i, i] "

");

Зміст

Вступ

1. Постановка задачі

2. Опис алгоритмів і програм

1.1 Основні відомості з лінійної алгебри. Власні значення та власні вектори матриці

1.2 Знаходження власних векторів і власних значень матриць. Метод обертання Якобі

1.3 Засоби формування інтерфейсу користувача

3. Текст програми алгоритму методу обертання Якобі

4. Результат роботи

5. Вимоги до програмно-технічного забезпечення

6. Інструкція користувача

Список використаних джерел

Запуск програми

IMG_6e5b1ecc-aaf3-4cb6-b70b-455ca5771965

Введення значень

IMG_75854d13-8140-4c88-92eb-0e52852169f5

Якщо матриця не симетрична

IMG_eae27318-2997-4562-a17f-b3b265dc5088

Після правильно введених даних ввести точність визначення

IMG_ab43792b-742a-464c-849a-c2b6199a6141

Результат

IMG_17bf4da3-1de6-4e55-aa6d-2b1559f43fc2

5. Вимоги до програмно-технічного забезпечення

Створена програма не потребує високих системних вимог для її функціонування, оскільки була протестована на компютері з наступними характеристиками: операційна система - Windows XP Professional;

частота процесора - 1,09 ГГЦ;

обєм оперативної памяті - 512 Мб;

відеопамять відеокарти - 256 Мб.

Враховуючи, що програму було розроблено на платформі.NET Framework 4.0, яка сумісна з операційними системами Windows XP Professional та вище, мінімальні вимоги до системи наступні: операційна система - Windows: XP Professional, Vista, 7, 8;

частота процесора - 1 ГГЦ та вище;

обєм оперативної памяті - 512 Мб та вище;

відеопамять відеокарти - 256 Мб та вище;

вільна память на диску - 2 Мб;

програмна платформа -.NET Framework 4.0 або вище.

6. Інструкція користувача

Запуск програми

При запуску програми на екрані користувача висвітится назва алгоритму,та запропонує ввести величину матриці. Оскільки використовуєтся квадратна матриця(NXN) вводиться тільки одне значення N.

Введення значень матриці А Після величини матриці потрібно ввести значення матриці.

Перевірка симетричності

Після введених даних йде перевірка симетричності матриці оскільки тільки з такою матрицею працює метод Якобі. Якщо матриця не симетрична програма повертається на момент введення величина матриці. Якщо ж симетрична алгоритм йде далі.

Введення точності

Після перевірки в минулому кроці потрібно ввести точність ?.

Результат

Після правильного введення всіх даних на екрані висвітиться результат на екран. Буде показано власні вектори та власні значення вказаної матриці.

Висновок

При виконанні даної курсової роботи було вивчено метод обертання Якобі рішення симетрично повної проблеми власних значень.

Цей метод при невеликих розмірах матриць дає непогані результати, і дозволяє з великою точністю обчислювати власні значення. При великих розмірах матриць реалізація методу наштовхується на великі втрати машинних ресурсів (через необхідність пошуку максимального елемента матриці, і перемноження матриць великої розмірності). Також різко звужує можливість застосувати даний метод на практиці тому, що він може бути застосований лише до симетричних матриць.

Зважаючи на вищесказане, цей метод на практиці застосовується рідко, частіше застосовується циклічний метод Якобі з барєрами. Швидкість збіжності якого так само асимптотично квадратична.

Список використаних джерел

1. Демидович Б. П., Марон І. А. Основи обчислювальної математики. - 3-е вид. - М.: Наука, 1966. - 560 с.

2. Ільїн В. А., Позняк Е. Г. Лінійна алгебра: Підруч. Для вузів - 4-е вид. - М.: Наука. Фізмат.літ, 1999. - 296 с.

3. Каліткін Н. Н. Чисельні методи. - М.: Мир, 1988. - 512 с.

4. Мальцев А. І. Основи лінійної алгебри. - 3-вид. - М.: Наука, 1968. - 402 с.

5. Марчук Г. И. Методи обчислювальної математики - М.: Наука, 1977. - 392с.

6. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинні методи математичних обчислень: Пер. з англ. - М.: Мир, 1980. - 277 с.

Размещено на .ru