Розробка методів обґрунтування гіпотез теорії алгебраїчних кривих та геометрії чисел - Автореферат

Національна академія наук України Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наукМечнікова, завідувач кафедри компютерної алгебри та дискретної математики, доктор фізико-математичних наук, професор, Дрозд Юрій Анатолійович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, професор кафедри алгебри і математичної логіки, доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник, Левитська Аліна Олександрівна, Інститут кібернетики імені В.М. Розроблено й досліджено компютерно-алгебраїчні, інтервально-аналітичні та на просторах модулів методи обґрунтування гіпотез теорії алгебраїчних кривих і геометрії чисел. На основі цих методів побудовано ефективні алгоритми та компютерні системи розвязування обчислювальних задач і обґрунтування гіпотез теорії алгебраїчних кривих та геометрії чисел на просторах модулів. Розроблені методи, алгоритми й системи застосовано до обґрунтування гіпотези про рівнорозподіленость з щільністю Сато-Тейта кутів тригонометричних сум Клостермана, розвязування задач про розвязки, оцінки множин розвязків кривих вигляду y2 = f(x), де f(x) є унітарний поліномом степені більше або рівній пяти, гіпереліптичних кривих над простими скінченними полями, вибраних задач стохастичної апроксимації, інтервального оцінювання та теорії динамічних систем, гіпотези Мінковського про критичний визначник. Разработаны и исследованы компьютерно-алгебраические, интервально-аналитические и на пространствах модулей методы обоснования гипотез теории алгебраических кривых и геометрии чисел.Темою дослідження даної роботи є розробка компютерно-алгебраїчних, інтервально-аналітичних і на просторах модулів методів обґрунтування гіпотез теорії алгебраїчних кривих та геометрії чисел, побудова на їхній основі ефективних алгоритмів та компютерних систем розвязування обчислювальних задач теорії алгебраїчних кривих та геометрії чисел на просторах модулів, розробка та застосування цих методів, алгоритмів та систем до розвязування деяких задач про розвязки, множини розвязків, не пустоту та пустоту розвязків кривих вигляду y2 = f(x), де f(x) є поліномом степеня більше або рівній пяти, гіпереліптичних кривих над простими скінченими полями, про рівнорозподіленість кутів тригонометричних сум Клостермана, вибраних задач стохастичної апроксимації, інтервального оцінювання та теорії динамічних систем, гіпотези Мінковського про критичний визначник області . Задачі обґрунтування гіпотез теорії алгебраїчних кривих та геометрії чисел виникають як задачі та повязані з ними гіпотези на математичних моделях предметних областей при дослідженні багатьох теоретичних і практичних проблем. Вони стимулювали й стимулюють розробку методів дослідження алгебраїчних многовидів над скінченними полями та застосування таких методів. Задачі обґрунтування гіпотез теорії алгебраїчних кривих та геометрії чисел розвязуються у теорії передавання інформації та криптографії, у теорії динамічних систем, у математичній та теоретичній фізиці, а також у багатьох інших випадках. Ці теорії включають у себе методи дослідження структури і властивостей різних класів задач, методи їх розвязання та інші аспекти.Змістовна частина дисертації складається з пяти розділів: “Попередні відомості та результати”, який складається з шести підрозділів, “Раціональні точки, оцінки і рівнорозподіленість на просторах модулів алгебраїчних кривих над простими скінченними полями”, який складається з пяти підрозділів, “Деякі задачі теорії динамічних систем”, який складається з шести підрозділів, “Гіпотеза Мінковського про критичний визначник області |x|p |y|p 1. Аналітичне формулювання та метод доведення”, який складається з пяти підрозділів, “Гіпотеза Мінковського про критичний визначник області |x|p |y|p 1, ефективні алгоритми її дослідження та доведення і їхнє застосування” який складається з чотирьох підрозділів. Наведені в розділі пропозиція 1.4.1 та пропозиція 1.4.2 дають методи обчислення інтервальних розширень раціональних та монотонних функцій, а також суперпозицій таких функцій. Вейлем методами алгебраїчної геометрії виразу для сум Клостермана, експериментально вивчаються розподіленість кутів тригонометричних сум Клостермана у функціональному випадку та над замкненою множиною афінної схеми Spec Z, яка параметризує такі суми Клостермана, раціональні точки алгебраїчних кривих вигляду y2 = f(x) над простими скінченними полями, раціональні точки гіпереліптичних кривих над просторами модулів таких кривих. У підрозділі чотири досліджено на ЕОМ розподіл кутів сум Клостермана вигляду А) (функціональний випадок) та Б) (арифметичний випадок) щодо гіпотези (у випадку А нині теорема Деліня-Каца) про рівнорозподіленість кутів на інтервалі [0, ] з функцією щільності .На основі запропонованих методів розроблені достатньо для цілей розвязування задач ефективні алгоритми, які базуються також на вибраних теоретико-числових, алгебраїчних та інтервально-аналітичних методах.

2. Основний зміст роботи