Розробка чисельно-аналітичного методу дослідження переходу від регулярної до хаотичної динаміки в нелінійних системах - Автореферат

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата математичних наукТака динаміка реалізується в широкому діапазоні зміни значень параметрів нелінійних систем. Тому одним з головних питань, що виникають перед дослідниками, є питання про те, за яких значень параметрів системи можуть виникнути хаотичні коливання, коли передбачити поведінку системи на тривалих інтервалах часу стає неможливим. На цей час розроблено декілька критеріїв виявлення переходу від регулярної до хаотичної динаміки нелінійних систем. Дисертаційна робота виконана на кафедрі прикладної математики Національного технічного університету “ХПІ” у період з 2000 по 2004 рр. і проводилась відповідно до: - держбюджетної науково-дослідної теми “Створення методів аналізу нелінійних динамічних процесів, біфуркацій та повзучості в тонкостінних конструкціях” (№Д.Р.0103U001486); Дослідження переходу від регулярної до хаотичної динаміки в механічних системах, що моделюються нелінійними рівняннями: неавтономної системи Дуффінга, маятника з коливальною точкою підвісу, автоколивальної системи Ван дер Поля-Дуффінга, ферми Мізеса, що має можливість проклацювання, та осцилятора з нелінійною характеристикою тертя під дією зовнішнього періодичного збудження.Функція (2) називається дробово-раціональною діагональною двоточковою апроксимацією Паде, що відповідає (1), якщо: Необхідною умовою збіжності послідовності Паде апроксимацій до функції є умова: Де детермінант системи лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь для визначення коефіцієнтів Паде апроксимації, що утворюється шляхом порівняння розвинень та Паде апроксимацій і утримання потрібних згідно з визначенням степенів. Неавтономне рівняння Дуффінга має вигляд: Локальне розвинення розвязку в околі нуля має вигляд: Після інтегрування рівняння (5) в границях від 0 отримано: Де: Тоді локальне розвинення інтеграла в степеневий ряд набуде вигляд: Вираз (8) було подовжено на нескінченність, використовуючи Паде апроксимацію: Тоді з (7) маємо: Локальне розвинення (6) було подовжено на нескінченність наступним чином: З урахуванням (11) умова на нескінченності набуде вигляд: Необхідні умови збіжності апроксимацій (9) та (11) утворюють систему двох нелінійних алгебраїчних рівнянь (індекси вказують порядки змінних, що входять до рівнянь): Розвязавши побудовану систему нелінійних алгебраїчних рівнянь (10), (12)-(14), отримано всі невідомі параметри рівняння, що відповідають виникненню гомоклінічної траєкторії. Рівняння Ван дер Поля-Дуффінга має вигляд: Шуканий розвязок має два локальні розвинення: Де: Результатом обчислення інтеграла від рівняння в границях від 0 є рівняння: Інтеграл подовжимо на нескінченність за допомогою Паде апроксимації: Тоді маємо рівняння: Для "зрощування" локальних розвинень (19)-(20) були апроксимації: Рівняння (22), а також необхідні умови збіжності для апроксимацій (21), (23) створюють систему для визначення значень початкових амплітуд, а також параметрів, що відповідають шуканій траєкторії. Вимушені коливання лінійного осцилятора, звязаного з фермою Мізеса, що має можливість проклацювання, можуть бути описані системою рівнянь: Припускаючи, що маса М рухається за періодичним законом, після перетворення змінних та введення доданку, що відповідає за дисипацію, досліджуване рівняння коливань ферми Мізеса набуде вигляду: Інтегруючи рівняння в границях від 0 до ±? та використовуючи Паде та квазі-Паде апроксимацію для "зрощування" та аналітичного подовження локальних розвинень, отримаємо таке: Умови збіжності Паде та квазі-Паде апроксимацій з (26)-(27) утворюють нелінійні алгебраїчні рівняння: Рівняння (26), (28), (29) утворюють систему нелінійних алгебраїчних рівнянь для знаходження невідомих параметрів, які відповідають утворенню гомоклінічної траєкторії. Коливання вимушеного осцилятора з нелінійною характеристикою тертя, який є системою “маса-пружина” у взаємодії з стрічкою, що рухається, описуються рівнянням: Обчисливши інтеграл від рівняння від 0 до ±? вздовж розвязку автономного рівняння та подовживши локальне розвинення в околі нуля на нескінченність, отримано: Необхідна умова збіжності квазі-Паде (34) утворює нелінійне алгебраїчне рівняння: Система нелінійних алгебраїчних рівнянь (32), (33), (35) дозволяє визначити невідомі параметри, які відповідають утворенню шуканої траєкторії.За дослідженнями, що виконано у дисертаційній роботі відповідно до її мети, створено ефективний метод дослідження переходу від регулярної до хаотичної динаміки нелінійних систем з декількома положеннями рівноваги. Розроблено новий чисельно-аналітичний метод побудови гомо-та гетероклінічних траєкторій, утворення яких є початком хаотичної поведінки нелінійної системи, для випадку малої дисипації в системі.

. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ