Розділяюче перетворення і квадратичні диференціали в геометричній теорії функцій комплексної змінної - Автореферат

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наукЗ дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України. Для дослідження таких екстремальних задач використовуються метод розділяючого перетворення і метод "керуючих" функціоналів. Введено класи відкритих множин, які задовольняють певні умови ненакладання відносно заданої системи точок, що дозволило узагальнити отримані результати (а також і відомі раніше) для неперетинних областей на випадок відкритих множин (що істотно розширює обєкт дослідження). Диссертационная работа посвящена разработке новых и усовершенствованию уже существующих методов для решения класса экстремальных задач геометрической теории функций комплексного переменного, связанных с получением точных оценок сверху функционалов на классах непересекающихся областей или открытых множеств. Основным объектом исследования являются экстремальные задачи об оценке сверху произведения степеней внутренних радиусов непересекающихся областей или открытых множеств, которым соответствуют квадратичные дифференциалы, полюсы которых не фиксированы (т.е. со свободными полюсами).Виникнення в теорії однолистих функцій екстремальних задач про неперетинні області повязано з роботою М.О. Лаврентьєвим (1934 р.): якщо G0, G1 - довільні неперетинні області, які містять фіксовані точки zi I Gi, і Fi: Gi ® {|w|<1}, Fi(zi) = 0, - конформні відображення цих областей на одиничний круг, то |F’(z0) F’(z1)| ? |z0 - z1|-2, причому рівність досягається тоді і лише тоді, коли ці області є півплощинами, поділеними прямою |z-z0| = |z-z1|. Тейхмюллером була вперше відмічена фундаментальна роль квадратичних диференціалів як універсального засобу для розвязання екстремальних задач геометричної теорії функцій. Перші задачі з вільними полюсами про неперетинні області були сформульовані і частково розвязані Г.П. Дубінін розробив кілька нових потужних методів дослідження і за їх допомогою розвязав низку нових екстремальних задач про неперетинні області з вільними полюсами.Другий розділ дисертації присвячено розвязанню екстремальних задач третього та другого типів для рівнокутових (n, m)-променевих систем точок з урахуванням коефіцієнтів зміщення, кутових параметрів та керуючих функціоналів. Будемо говорити, що на A заданий квадратичний диференціал, якщо кожному локальному параметру z поверхні A відповідає функція Q(z), мероморфна у відповідному околі, і така, що задовольняє умову: якщо z* - другий локальний параметр для A і Q*(z*) - така ж функція для z*, причому околи, які відповідають параметрам z і z*, перетинаються, то в спільних точках цих околів має місце рівність Q*(z*)=Q(z)(dz/dz*)2. Область називається круговою областю квадратичного диференціалу Q(z)dz2, якщо а) будь-яка траєкторія диференціалу Q(z)dz2, що перетинається з областю G, повністю належить G; б) G містить єдиний подвійний полюс a диференціалу Q(z)dz2; в) область G \ a заповнена траєкторіями диференціалу Q(z)dz2, кожна з яких є жордановою кривою, що відокремлює точку a від границі області G; г) при певному виборі чисто уявної сталої c функція w=exp{COQ(z)1/2dz}, доозначена рівністю w(a) = 0, конформно відображає область G на круг |w| <r; д) G - максимальна (по включенню) область, що задовольняє умови а) - г). У випадку m = 1, (n, 1)-променеву систему точок будемо називати n-променевою і розглянемо більш прості позначення: ak,1=:ak (), An,1=:An. Далі позначимо через Dk(0) звязну компоненту множини , що містить точку w = 0, а через Dk(?) - звязну компоненту множини , що містить точку w = ?.За допомогою (n, m)-променевих систем точок вдалося розширити класи екстремальних задач, для яких отримано повний розвязок. На основі поєднання розділяючого перетворення і методу "керуючих" функціоналів вдалося розвязати низку нових екстремальних задач про неперетинні області. Введені класи відкритих множин, які задовольняють певним умовам ненакладання відносно заданої системи точок, дозволили узагальнити отримані результати (а також і відомі раніше) для неперетинних областей на випадок відкритих множин (що розширює обєкт дослідження).

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ