Решение задач по теоретической механике. Часть 2. Кинематика - Методичка

Введение 4

§ 1. Координатны й ивекторны й способы задания движения точки. 5 Уравнения движения точки. Т раектория

§ 2. Скоростьиускорениеточки 8

§ 3. О пределениерадиусакривизны траектории 10

§ 4. Уравнение вращения. Угловая скорость и угловое ускорение 12 тела. Равномерноеиравнопеременноевращ ениетела

§ 5. Скоростииускорениеточектела, вращаю щ егося вокруг 14 неподвижной оси

§ 6. Уравнения движения искороститочекплоской ф игуры 15

§ 7. Ускорениеточекплоской ф игуры 18 § 8. Сложноедвижениеточки 33 § 9. Контрольны евопросы для самопроверкиостаточны хзнаний 40 § 10. Задания зачетной контрольной работы 41 § 11. Списокзадач для самостоятельногорешения 59 § 12. О сновны еф ормулы кинематики 60

Л итература 62

4

В веден и е

Учебно-методическое пособие предназначено для студентов специальности 010501 (010200) “П рикладная математика и информатика”, обучаю щ ихся на втором курседневного отделения третьем курсевечернего отделения, ПОДИСЦИПЛИНЕЕ Н .Ф .03.1. “Т еоретическая механика”.

Согласно учебному плану аудиторны езанятия по данной дисциплине включаю т2 часа лекций и 2 часа практическихзанятий в неделю , в течение одногосеместра. В тожевремя, объем самостоятельной работы отводимой на освоениепредмета составляет68 часов (72 часа в/о). П редлагаемы й учебно-методический материал призван помочьстудентам изучитьодин из разделов теоретической механики- кинематику. О пределения, положения ипостулаты , вводящиеся в кинематике, затем активноиспользую тся в динамике- основном разделетеоретической механики. П особиевклю чаеттеоретическиеосновы : определения; и практическиепримеры в видерешения наиболеетипичны х задач кинематики.

Т ак жев пособии содержится список вопросов для самоконтроля и переченьзадач для самостоятельногорешения.

И тогом изучения кинематики для студентов ф акультета П М М является решениезачетной работы , варианты которой приводятся в пособии, наряду с разбором типичны хзадач подобногорода.

Список основны х ф ормул кинематики и литературны е источники по данной дисциплине должны нацелить читателей на продуктивную самостоятельную работу.

5

§1. К оор ди н атн ы й и вектор н ы й способы задан и я дви ж ен и я точки . Ур авн ен и я дви ж ен и я точки . Тр аектор и я

П ри координатном способе задания движения положение точки в пространстве в лю бой момент времени t определяется декартовы ми координатами: x = x(t) ; y = y(t); z = z(t) (1.1)

Уравнения (1.1) называю туравнениями движения точки. П ри векторном способе задания движения положение точки в лю бой момент времени определяется еерадиус-вектором: r = r(t) (1.2) И склю чив из уравнений (1.1) параметр t, получим непараметрические уравнения кривой, покоторой движется точка. Т раекторией точкиможетбы ть вся полученная кривая или еечасть. Для определения траектории следует установитьобластиизменения координатх, y , z позаданны м уравнениям движения, считая время движения t сущ ественноположительной величиной. П риизвестном уравнениикривой, покоторой движется точка, траектория во многих случаях может бы ть вы делена заданием области изменения только одной координаты . П ри исследовании траектории точек механизмов следуетучиты вать такжеконструктивны е особенности данного механизма, ограничиваю щ иеего движение.

Задача 1. (рис1.). Движениеточкив ПЛОСКОСТИХОУ заданоуравнениями: x = a?sint y u y = 2a?cos2t? (a) гдеа - постоянная (a > 0); t - время.

О пределить траекторию точки и исследовать ее движение.

Р еш ение. Заданны еуравнения движения точки (a) являются уравнениями траектории в параметрической ф орме. Для получения уравнения кривой, по которой движется точка, в непараметрической ф орме следует из этих уравнений исклю читьпараметрт. И меем y = 2a?cos2t = 2a(1-2sin2 t) И зпервогоуравнения (a) найдем x sint = a , 6 тогда y = 2a(1- 2x2 )

2 a Это уравнениепараболы , вершина которой находится

(b) в точке(0,2а), а ветви, направлены вниз. О днако не вся полученная парабола является траекторией точки. Действительно, из (a) следует, что x ? a, y ? 2a, т. е. траекторией точки является часть параболы , заключенная внутри прямоугольникасосторонами 2a и 4a. Т аким образом, уравнением траектории

2

2 x точкиявляется y = 2a(1- a2 ) при - a ? x ? a .

Н айдем начальноеположениеточки. П рит = 0 имеем x t=0 = 0, y t=0 = 2a, т. е. точкав начальны й моментнаходиласьв вершинепараболы . П ривозрастании p t от0 до 2 сек абсцисса x увеличивается, а ордината y уменьшается, т. е. p точкадвижется попараболевправо. П рит = t1 = 2 сек имеем x t=0 = a y t=0 = -2a В промеж уткер сек ? t ? 3p сек точка движется попараболевлево, проходя

2 2 ее вершину в моментт =t2 =p сек. Н ачиная с момента t = t3 = 3p сек, точка

2 сновадвиж ется вправо, проходя начальноеположениев момент = t4 = 2p сек, и т.д. Т аким образом, точка совершаетс течением времени колебательное движениевдольпараболы . t

Задача 2. (рис 2.).