Постановка основной задачи линейного программирования с n-переменными. Решение задач математического программирования при помощи симплекс-метода традиционными способами. Системы уравнений и неравенств с n-переменными. Нахождение максимума функции прибыли.
Курсовая работа по дисциплине «Математические методы» Выполнил: Студентка группы ПК-24В последние годы в прикладной математике большое внимание уделяется новому классу задач оптимизации, заключающихся в нахождении в заданной области точек наибольшего или наименьшего значения некоторой функции, зависящей от большого числа переменных. Изучение этого круга задач и методов их решения привело к созданию новой научной дисциплины, получившей позднее название линейного программирования. К задачам, решаемых этим методом в рамках математического программирования относятся такие типичные экономические задачи как «Определение наилучшего состава смеси», «Задача об оптимальном плане выпуска продукции», «Оптимизация межотраслевых потоков», «Задача о выборе производственной программы», «Транспортная задача», «Задача размещения», «Модель Неймана расширяющейся экономики» и другие. Цель курсового проектирования - закрепить, систематизировать и комплексно обобщить знания по методам решения задач линейного программирования с n-переменными и развить навыки самостоятельной творческой работы; научиться практически применять полученные теоретические знания при решении конкретных вопросов; научиться пользоваться справочной литературой, стандартами, другими нормативно-техническими документами и средствами вычислительной техники.Линейное программирование - математическая дисциплина, посвященная теории и методам решения экстремальных задач на множествах n-мерного векторного пространства, задаваемых системами линейных уравнений и неравенств. Называется программированием условно, не имея ничего общего с написанием машинного кода. Многие свойства задач линейного программирования можно интерпретировать также как свойства многогранников и таким образом геометрически формулировать и доказывать их. Термин «программирование» нужно понимать в смысле «планирования». В линейном программировании изучаются свойства решений линейных систем уравнений и неравенств с n-переменными следующего вида: (1.1)Ограничения на ресурсы b1 b2 b3 … bi … bm aij - объем i-того ресурса, который расходуется на производство одной единицы j-того вида продукции i=1..m, j=1..n. xj - объем (количество единиц) j-того вида продукции в производственном плане предприятия (j от 1 до n). Составим ограничения для первого ресурса: а11 - объем первого ресурса, который расходуется на производство одной единицы первого вида продукции; а11x1 - объем первого ресурса, который требуется на изготовление x1 единиц первого вида продукции; а12x2 - объем первого ресурса, который требуется на изготовление x2 единиц второго вида продукции; а1nxn - объем первого ресурса, который требуется на изготовление xn единиц n-ого вида продукции;Если исследуемая вершина не соответствует максимуму (минимуму), то переходят к соседней, увеличивая значение функции цели при решении задачи на максимум и уменьшая при решении задачи на минимум. Так как число вершин многогранника ограничено, то за конечное число шагов гарантируется нахождение оптимального значения или установление того факта, что задача неразрешима. Таким образом, можно получить любое ее решение. Такие решения называются базисными, их столько же, сколько различных базисных видов у данной системы ограничений. Базисное решение называется допустимым базисным решением или опорным решением, если в нем значения переменных неотрицательны.Методику решения задачи линейного программирования рассмотрим на примере. Предприятие производит изделия двух видов И1, И2. При реализации каждое изделие приносит предприятию прибыль. Обозначим за Х1 число изделий вида И1, а через И2 - число изделий вида В.Для решения задачи перейдем в ограничениях от неравенств к равенствам, для этого введем дополнительные переменные, которые имеют экономический смысл и характеризуют неиспользованный остаток тех ресурсов, по которым введено ограничение: Целевая функция примет вид Так как х1, х2 - свободные переменные, а х3, х4, х5 - базисные, то набор х1=0, х2=0, х3=40, х4=80, х5=60, Zo=0 образует первое опорное решение.Ключевой столбец тот, которому соответствует наибольшее по абсолютному значению отрицательное число в итоговой строке. Третий шаг: число, находящееся на пересечении ключевой строки и ключевого столбца, называется ключевым элементом. В таблице 2 элементы, соответствующие элементам ключевой строки предшествующей таблицы 1, получаются делением элементов этой строки на ключевой элемент. В таблице 3 индекс этой строки должен быть изменен, ей присваивается индекс Р2, а нуль в столбце Cj заменяется на коэффициент при соответствующей переменной в целевой функции. 3) Столбец, обозначение которого встречается в основании таблицы, всегда состоит из ряда нулей и одной единицы, расположенной в строке, на пересечении которой с основанием таблицы стоит обозначение этого столбца.Решение происходит в 2 этапа: построение области допустимых решений и нахождение в этой области оптимальной точки.
