Особенности теоретических основ численного решения скалярных (нелинейных) уравнений методом хорд. Нахождение отрезков из области определения функции f (x), внутри которых содержится только один корень решаемого уравнения. Отделение корней уравнения.
Многие задачи требуют численных методов для своего решения. Особенность же этой области знания в том, что «наилучшего» численного метода обычно не существует, так как в одних условиях лучшим будет один метод, в то время как для других условий успешнее работает другой метод. Понять и обосновать, какой же метод выбрать как лучший, можно лишь проводя вычислительные эксперименты с различными методами и для различных задач и условий. Актуальность темы обоснована тем, что благодаря методу хорд, можно решить скалярные уравнения, которые не решаемы с помощью алгебраических преобразований. Изучить метод хорд для решения скалярных уравнений.Скалярными (нелинейными) уравнениями называются уравнения вида f(x) =0 (1.1) где функция f(x) = 0 нелинейная: - нелинейная алгебраическая функция вида ; функция, полученная комбинированием этих функций [3]. Численное решение скалярных (нелинейных) уравнений вида f(x) = 0 заключается в нахождении значений x, удовлетворяющих (с заданной точностью) данному уравнению и состоит из следующих основных этапов: 1. Отделение (изоляция, локализация) корней уравнения, то есть нахождение интервалов из области определения функции f(x), в каждом из которых содержится только один корень уравнения (1.1). Если непрерывная на отрезке [a, b] функция y = f(x) принимает на концах отрезка значения разных знаков, а производная сохраняет знак внутри отрезка [a, b] , то внутри отрезка существует единственный корень уравнения f(x) = 0 (рис.Метод, основанный на нахождении по двум приближениям и с помощью линейной интерполяции, называемый методом хорд. Идея метода состоит в том, что по двум точкам и построить прямую (то есть хорду, соединяющую две точки графика y = f(x)) и взять в качестве следующего приближения абсциссу точки пересечения этой прямой с осью . Иными словами, приближенно заменить на этом шаге функцию f(x) ее линейной интерполяцией, найденной по двум значениям x: и . (Линейной интерполяцией функции f(x) назовем такую линейную функцию , значения которой совпадают со значениями f(x) в двух фиксированных точках, в данном случае - в точках и ) [10]. В зависимости от того, лежат ли точки и по разные стороны от корня или же по одну и ту же сторону, получаем рисунок 4: Рис.Дано уравнение х3-0,2x2 0,5x 1,5=0. Уточнить корень с погрешностью <0,001. Проведя процедуру отделения корней, получим, что корень находится в промежутке [-1; 0], т. е. а=-1; b=0. f(-1)=-1-0,2-0,5 1,5=-0,2<0;Положим . Так как , то положим и продолжим процесс: . Так как , то положим и продолжим процесс: . Поскольку , положимВ ходе изучения tems «Метод хорд решения скалярных уравнений» выявили, что более быструю сходимость может обеспечить метод хорд. Метод хорд очень хорошо работает в условиях малого интервала (близости обеих границ интервала к корню), но неспособен сам создать себе эти условия (приблизить обе границы к корню).
План
Содержание
Введение
1. Теоретическая часть. Теоретические основы решения скалярных уравнений методом хорд
1.1 Численное решение скалярных уравнений
1.2 Метод хорд
2. Практическая часть. Решение задач
2.1 Пример 1. Решение скалярного уравнения методом хорд
2.2. Пример 2. Решение скалярного уравнения методом хорд
Заключение
Список литературы
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
