Решение систем нелинейных уравнений методом Бройдена - Курсовая работа

Необходимость в решении систем нелинейных уравнений возникает как самостоятельная задача при моделировании нелинейных объектов, а также как промежуточный этап при решении ряда других задач, например, при решении систем обыкновенных дифференциальных уравнений неявными методами или при решении нелинейных краевых задач. В общем виде задача решения системы нелинейных уравнений ставится так: найти вектор , превращающий систему уравнений Все численные методы решения нелинейного уравнения исходят из того, что решение либо единственно во всей области, либо требуемое решение лежит в известной области.Пусть необходимо решить систему уравнений с начальным вектором . На практике для обеспечения хорошего начала итерационного процесса один единственный раз используют конечно-разностную аппроксимацию производных, а на следующих шагах матрица аппроксимируется по методу Бройдена. Для начального вектора формируется матрица Якоби на основе конечно-разностной аппроксимации производных и аналогично методу Ньютона находится вектор очередного приближения из решения системы уравнений.Суть всех методов исключения состоит в приведении исходной системы уравнений к системе более простого вида, для которой легко найти решение. К этим методам можно отнести метод исключения Гаусса, который имеет много вычислительных схем и, как показали исследования, является идеальным алгоритмом для решения СЛАУ. Применение схемы единственного деления продемонстрируем на примере СЛАУ 4-го порядка Разделив первое уравнение системы на , получимВ процессе построения методов Ньютона и секущих решения нелинейного скалярного уравнения функция f(x) в окрестности текущей точки подменяется линейной функцией (аффинной моделью) Если потребовать, чтобы заменяющая функцию f(x) вблизи точки аффинная модель имела в этой точке одинаковую с ней производную, то, дифференцируя, получаем значение коэффициента , подстановка которого в приводит к известному методу Ньютона. Если же исходить из того, что наряду с равенством должно иметь место совпадение функций f(x) и в предшествующей точке т.е. из равенства , , получаем коэффициент , превращающий в известную формулу секущих. Равенство , переписанное в виде , называют соотношением секущих в Оно легко обобщается на n-мерный случай и лежит в основе вывода метода Бройдена. Но это соотношение не определяет однозначно матрицу : глядя на равенство , легко понять, что при n>1 существует множество матриц , преобразующих заданный n-мерный вектор в другой заданный вектор (отсюда - ясность в понимании того, что могут быть различные обобщения одномерного метода секущих).Программа была разработана в интегрированной среде разработке приложений Microsoft Visual Studio 2008 на языке программирования C#, проект программы Console Application. Если программа не находит решения удовлетворяющего требуемой точности за 10 итераций, то поиск решения прекращается, а так же если процесс расходится (в соответствии с приложением А). Введем матрицу Якоби , погрешность 0,3 начальное решение является точным решение. На 1 итерации получаем результат решения (рисунок 1). Попробуем задать начальное решение отличное от точного (рисунок 2).Если начальное приближение выбрано достаточно близко к решению и если начальная аппроксимация матрицы Якоби достаточно точна, то метод Бройдена обладает сверхлинейной сходимостью, но не квадратичной, как метод Ньютона./*программа предназначена для решения системы нелинейных уравнений. Версия программы №1.Автор Харитонова Яна Андреевна.*/ using System; using System.Collections.Generic; using System.Text; Console.

Содержание

Реферат

Введение

1. Алгоритм бройдена

1.1 Входные данные для алгоритма Бройдена

1.2 Содержание алгоритма Бройдена

1.3 Метод исключения Гаусса для решения СЛАУ

1.4 Вывод формулы пересчета Бройдена

2. Разработка программы и иследование результата ее работы

Заключение

Список литературы

Приложение

Если начальное приближение выбрано достаточно близко к решению и если начальная аппроксимация матрицы Якоби достаточно точна, то метод Бройдена обладает сверхлинейной сходимостью, но не квадратичной, как метод Ньютона.

Данная курсовая работа выполнена в полном объеме. В курсовой работе был рассмотрен метод Бройдена, написана программа реализующая его.

1. С.Л. Подвальный, Л.В. Холопкина. Вычислительная математика- учебное пособие ВГТУ, 2004 - 147 с.

2. Методы решения систем нелинейных уравнений. Метод Ньютона. Его реализации и модификации. - Электрон. дан. - Режим доступа: www.exponenta.ru/educat/referat/XVKONKURS/15/index.asp.