Решение систем линейных уравнений с помощью метода Зейделя - Дипломная работа

В классическом варианте коэффициенты при переменных, свободные члены и неизвестные - это вещественные числа, но все метода и результаты сохраняются (либо обобщаются) на случай любых полей, например, комплексных чисел[1]. Задачи, соответствующие современным задачам на составление и решение систем уравнений с несколькими неизвестными, встречаются еще в вавилонских и египетских рукописях II века до н.э., а так же в трудах древнегреческих, индийских и китайских мудрецов. Хотя задача решения именно системы линейных уравнений сравнительно редко представляет самостоятельный интерес для прикладных задач, но от умения эффективно решать данные системы часто зависит сама возможность математического моделирования самых разнообразных процессов с применением ЭВМ. Значительная часть численных методов решения различных (в особенности - нелинейных) задач включает в себя решение систем линейных уравнений как элементарный шаг соответствующего алгоритма[2]. Способы решения систем линейных уравнений в основном разделяются на две группы: 1) точные методы, представляющие собой конечные алгорифмы для вычисления корней системы (таковы, например, правило Крамера, метод Гаусса, метод главных элементов, метод квадратных корней и др.);Методы решения систем линейных алгебраических уравнений делятся на две группы - прямые и итерационные [3]. Но Однако точное решение может быть получено лишь при выполнении вычислений с бесконечным числом (при точных значениях коэффициентов системы). Отметим лишь, что здесь облегчается обратный ход, поскольку система приводится к диагональному виду (а не к треугольному). Иными словами, для успешного применения процесса итерации модули диагональных коэффициентов системы (1.1) должны быть велики по сравнению с модулями недиагональных коэффициентов этой системы (свободные члены при этом роли не играют) [9]. В матричной форме систему (1.5) можно написать так: За нулевые приближения корней системы (4) принимаем: Подставляя эти значения в правые части уравнений (1.5), получим первые приближения корней: Далее, подставляя найденные приближения в формулу (1.5) получим вторые приближения корней: После новой подстановки будем иметь третьи приближения корней: и т.д.В качестве исходных данных вводятся коэффициенты и правые части уравнений системы, погрешность , допустимое число итераций М, а так же начальные приближения переменных . Далее предполагая, что k-е приближение корней известно, тогда в соответствии с идеей метода будем строить (k 1) - е приближение по следующим формулам: Рисунок 2.1 Блок-схема метода Зейделя Процесс Зейделя может сходится даже в том случае, если расходится процесс итерации. Приведем эту систему к виду, удобному для итерации, В качестве нулевых приближений корней возьмем: Применяя процесс Зейделя, последовательно получим: и т. д. Согласно предыдущему процесс Зейделя для системы (2.5) или эквивалентной ей системы (3.6) строится следующим образом: (2.7) и Для сходимости процесса необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матрицы были по модулю меньше единицы.Для разработки алгоритма модификации метода Зейделя, для начала сопоставим его с методом простой итерации: , , ,…,-неизвестные, которые подлежат определению из системы (3.1) Систему (4.4) перепишем в матричной форме: (3.5) где матрицы и определяются равенством Систему (3.5) разрешив относительно , имеем Для системы (3.8) метод простой итерации (3.3) сходится, когда корни , характеристического многочлена Матрица системы (3.17) имеет вид: Вычислим характеристический многочлен этой матрицы: Итак (3.18)1) Создадим программу, которая будет создавать поддиагональную матрицу , матрице ; 4) Посчитаем собственные значения, получившейся матрицы ; 5) Напишем программу, которая создает матрицы, имеющие по одному ненулевому элементу в каждой строке и в каждом столбце; 6) Далее путем ввода положений ненулевых элементов в матрицу получаем 5 разных матриц с ненулевыми элементами; Далее обратимся к математическому пакету Mathcad, для реализации данной идеи, ее отладке и экспериментальному тестированию.Для системы уравнений можно построить различные итерационные процессы метода Зейделя, в зависимости от перестановки уравнений в системе.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. АНАЛИЗ ИТЕРАЦИОННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РАЗРАБОТКА ТЕХНИЧЕСКИХ ТРЕБОВАНИЙ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ВЫПУСКНОЙ КВАЛИФИКАЦИОННОЙ РАБОТЫ

3. РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ

4. СОСТАВЛЕНИЕ ПРОГРАММ И ИХ РЕАЛИЗАЦИЯ НА МАТЕМАТИЧЕСКОМ ПАКЕТЕ MATHCAD, ОТЛАДКА, И ЭКСПИРЕМЕНТАЛЬНОЕ ТЕСТИРОВАНИЕ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ