Решение систем дифференциальных уравнений методом преобразования Лапласа - Курсовая работа

Синтез САУ начинается с изучения управляемого объекта и формулирования требований к системе. В соответствии с постановкой задачи из анализа математической модели объекта определяют его программные движения (в частности, состояния равновесия). Поэтому следующим этапом является построение математической модели управляющей системы, обеспечивающей при наличии начальных отклонений и внешних воздействий выполнение программы с необходимой точностью. Кроме того, эта модель должна быть физически реализуема с применением элементов, отвечающих требованиям стоимости, надежности, специфическим условиям работы системы и т. п. Достоинства этого метода заключаются, прежде всего, в линейной структуре регулятора, обеспечивающей простоту анализа промежуточных результатов и реализации системы, а также в простоте вычислительных процедур, опирающихся на развитый пакет программного обеспечения для синтеза линейных квадратичных гауссовских (ЛКГ) регуляторов на ЦВМ.Целью курсовой работы является овладение умением и практическими навыками решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений методом преобразования Лапласа и освоение вычислительных процедур с помощью математических пакетов MATHCAD или MATLAB в применении к задаче синтеза линейно-квадратичного регулятора с внешними возмущениями в виде гауссового белого шума(LQG).В качестве объекта исследований выбрана система обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), описывающая боковое перемещение самолета относительно заданного курса u(t) - внешнее воздействие: текущее значение угла поворота элеронов самолета (в градусах), с помощью которого можно управлять перемещением самолета. Согласно заданию (вариант №2) коэффициенты модели и начальные условия имеют следующие значения: = 2,6 = 40 В задаче необходимо рассмотреть два вида внешних воздействий u(t) системы ОДУ (2.1) - ступенчатое и гармоническое .Наиболее эффективным методом интегрирования систем линейных ОДУ с постоянными коэффициентами считается метод преобразования Лапласа. Будем считать, что система ОДУ задана в векторно-матричной форме Предполагается, что для системы (2.3) известны значения искомого вектора x(t) в начальный момент времени t=0, т.е., известны начальные условия Алгоритм решения (интегрирования) системы линейных стационарных ОДУ с использованием метода преобразования Лапласа содержит три основных шага. Применим преобразование Лапласа к системе ОДУ (2.3) и учтем свойства линейности (1.) и дифференцирования оригинала (2.).Дана система из трех линейных ОДУ с постоянными коэффициентами в нормальной форме (в форме Коши), описывающая управляемое боковое перемещение нестабилизированного самолета (ЛА - летательного аппарата) относительно заданного курса В этих уравнениях введены следующие обозначения: - Y(t) - боковое отклонение: отклонение центра масс самолета в горизонтальной плоскости относительно заданного курса (в метрах); u(t) - внешнее управляющее воздействие: текущее значение угла поворота элеронов ЛА (в градусах), с помощью которого можно управлять боковым перемещением самолета; В рассматриваемом примере (2.13), (2.14): искомая вектор-функция x(t) имеет размерность 3; внешнее управляющее воздействие u(t) имеет размерность 1 (скалярная функция); внешнее неконтролируемое воздействие f(t) отсутствует; выходная управляемая переменная Y(t)=x1(t) - скалярная функция; числовая матрица коэффициентов А - квадратная, размерности 3x3; числовая матрица коэффициентов при внешнем воздействии B - вектор столбец размерности 3x1; числовая матрица выхода C - вектор-строка размерности 1x3; управляющее воздействие u(t) непосредственного влияния на выходную переменную Y(t) не оказывает, поэтому матрица D - нулевой скаляр. Получив изображения по Лапласу двух видов внешних управляющих воздействий ступенчатого и гармонического (при получении изображения используем третье свойство преобразования Лапласа) запишем явное выражение для изображения X(s) общего решения в видеДля этого спроектируем стабилизирующий регулятор с помощью введения отрицательной обратной связи по компонентам вектора состояния в виде дополнительного сигнала uoc(t) на вход объекта управления Уравнение состояния (2.13) с учетом введенной обратной связи изменится следующим образом Объект управления (2.3), (2.4) называют стабилизированным (асимптотически устойчивым) если все собственные числа матрицы А его уравнения состояния (2.3) имеют строго отрицательные вещественные части (расположены строго в левой полуплоскости плоскости комплексных чисел). По заданию курсовой работы необходимо определить неизвестные коэффициенты KY, kf и kg так, чтобы матрица Аос имела три известных собственных числа (имела заданный спектр).Из графика второго окна видно, при отсутствии воздействия значения компонент стремятся к нулю.

Содержание

Введение

1. Цель курсовой работы

2. Задание на курсовую работу

3. Решение систем линейных стационарных ОДУ методом преобразования Лапласа

4. Постановка задачи и решение

5. Стабилизация движения путем введения отрицательной обратной связи

Выводы

Список литературы

Приложение

Синтез САУ начинается с изучения управляемого объекта и формулирования требований к системе. В соответствии с постановкой задачи из анализа математической модели объекта определяют его программные движения (в частности, состояния равновесия). В реальных условиях программные движения абсолютно точно выполнить невозможно. Поэтому следующим этапом является построение математической модели управляющей системы, обеспечивающей при наличии начальных отклонений и внешних воздействий выполнение программы с необходимой точностью. Синтезируемая модель должна быть устойчивой и удовлетворять требованиям качества переходных процессов. Кроме того, эта модель должна быть физически реализуема с применением элементов, отвечающих требованиям стоимости, надежности, специфическим условиям работы системы и т. п.

При практическом синтезе систем управления широкое распространение получил метод квадратичной оптимизации. Достоинства этого метода заключаются, прежде всего, в линейной структуре регулятора, обеспечивающей простоту анализа промежуточных результатов и реализации системы, а также в простоте вычислительных процедур, опирающихся на развитый пакет программного обеспечения для синтеза линейных квадратичных гауссовских (ЛКГ) регуляторов на ЦВМ.

Линейно-квадратичное гауссовское (ЛКГ) управление относится к современным методам управления. Методология синтеза контроллера позволяет отнести системы управления, построенные на таком принципе, к оптимальным системам, в которых оптимизация проводится по некоторому заданному квадратичному критерию качества. Также эта теория принимает в расчет присутствие возмущений в виде гауссовабелого шума. Однако несмотря на то, что синтез ЛКГ-контроллеров предусматривает систематическую процедуру расчета для оптимизации качества системы, главным его недостатком является то, что в рассмотрение не принимается робастность системы. Поэтому ЛКГ-синтез проводится только для систем, имеющих надежную и точную линейную динамическую модель. Для повышения робастности системы управления применяют более сложные алгоритмы, такие как минимаксный ЛКГ синтез, или комбинированный ЛКГ/H?синтез. ЛКГ контроллеры могут использоваться как для дискретных, так и для непрерывных систем. дифференциальный лаплас стабилизация

Построим графики движений и . Из графиков следует, что исследуемый объект является устойчивым. Из графика второго окна видно, при отсутствии воздействия значения компонент стремятся к нулю.

Однако экстремумы показывают, что значения функций f(t) - угловое отклонение от заданного курса и g(t) - угол крена во время воздействия отклоняются от нулевых почти на 20% , что может приводить к значительным флуктуациям курсовой стабильности.

1. В.А. Крамарь, В.А .Карапетьян Методические указания к выполнению курсовой работы по дисциплине «Специальные разделы математики» Севастополь. СЕВГУ. 2015.-30с.

2. Андык В.С. Теория автоматического управления. Учебное пособие практическим занятиям. Томск. Издательство ТПУ 2004.-108с.

3. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М. Наука, 1972.-762с.

4. Дорф Р. Бишоп Р. Современные системы управления |Перевод с английского Б.И. Копылова| М. Лаборатория базовых знаний.

5. Линейно-квадратичное гауссовское управление

6. Преобразовамние Лапламса