Решение практических заданий по дискретной математике - Контрольная работа

бесплатно 0
4.5 101
Представление с помощью кругов Эйлера множественного выражения. Законы и свойства алгебры множеств, упрощение выражений. Система функций, ее возможные базисы. Минимизирование булевой функции. Метод Квайна – Мак-Класки. Определение хроматического числа.

Скачать работу Скачать уникальную работу

Чтобы скачать работу, Вы должны пройти проверку:


Аннотация к работе
Представить с помощью кругов Эйлера множественное выражение Используя законы и свойства алгебры множеств, упростить заданное выражение Показать, что эти множества представляют собой соответствия между множествами N1 и N2 , если N1 = N2 = . Построить диаграмму и определить, является ли данное множество решеткой.

План
Содержание

Введение

Список литературы
Введение

Проблемы, связанные с понятиями бесконечности, дискретности и непрерывности, рассматривались в математике, как и в философии, древнегреческими мыслителями, начиная с 6 века до нашей эры. Под влиянием сочинений Аристотеля они широко обсуждались средневековыми учеными и философами в странах Европы и Азии. Через всю историю математики проходит идея преодоления между актуальной и потенциальной бесконечностью, с одной стороны, между дискретным характером числа и непрерывной природой геометрических величин - с другой. Впервые проблема математической бесконечности и связанных с нею понятий была широко поставлена в наиболее общем виде в теории множеств, основы которой были разработаны в последней четверти 19 века Георгом Кантором.

Цель контрольной работы - ознакомится с основными понятиями и методами решения по дискретной математике, уметь применить полученные знания при решении практического задания.

Задание 1

Представить с помощью кругов Эйлера множественное выражение

.

Используя законы и свойства алгебры множеств, упростить заданное выражение.

Решение: Используя круги Эйлера и, учитывая, что операция пересечения выполняется раньше операции объединения, получим следующие рисунки:

Объединяя заштрихованные области, получим искомое множество:

Упростим заданное выражение:

=

.

Задание 2

Заданы множества кортежей:

.

Показать, что эти множества представляют собой соответствия между множествами N1 и N2 , если N1 = N2 = . Дать полную характеристику этих соответствий

Решение: Найдем декартово произведение:

Видно, что заданные множества являются подмножествами этого прямого произведения. Следовательно, данные множества есть соответствия. а) .

Область определения: . Следовательно, соответствие является частично определенным.

Область значений: . Следовательно, соответствие является сюръективным.

Образом элемента являются два элемента . Значит соответствие не является функциональным. Из этого следует, что соответствие не является функцией, отображением. б) .

Область определения: . Следовательно, соответствие является частично определенным.

Область значений: . Следовательно, соответствие не является сюръективным.

Образом любого элемента из является единственный элемент из . Следовательно, соответствие является функциональным, функцией. Соответствие является частично определенным. Это означает, что функция является частично определенной и не является отображением. в) .

Область определения: .Следовательно, соответствие всюду определено.

Область значений: . Следовательно, соответствие не является сюръективным.

Образом любого элемента из является единственный элемент из . Следовательно, соответствие является функциональным, функцией. Так как соответствие всюду определено, то имеем полностью определенную функцию, т.е. имеем отображение N1 в N2 . г) .

Область определения: . Значит, соответствие полностью определено.

Область значений: . Значит, соответствие сюръективно.

Образом любого элемента из N1 является единственный элемент из N2 . Следовательно, соответствие является функциональным, функцией.

Так как соответствие всюду определено, сюръективно, функционально и прообразом любого элемента из является единственный элемент из , то соответствие является взаимно однозначным.

Так как функция полностью определена и соответствие сюръективно, то имеем отображение N1 на N2 .

Так как для любых двух различных элементов из N1 их образы из N2 также различны, то отображение является инъективным.

Так как отображение является одновременно сюръективным и инъективным, то имеем биективное отображение (взаимно однозначное отображение).

Задание 3

Частично упорядоченное множество М задано множеством упорядоченных пар

.

Построить диаграмму и определить, является ли данное множество решеткой. Если заданное множество является решеткой, то определить, является ли решетка дедекиндовой , дистрибутивной.

Решение: Построим диаграмму:

Построим таблицу: Пары элементов Н.Г. В.Г. Н.Н.Г. Н.В.Г.

1,2 1 2,5 1 2

1,3 1 3,4,5 1 3

1,4 1 4,5 1 4

1,5 1 5 1 5

1,6 1 6,2,5 1 6

2,3 1 5 1 5

2,4 1 5 1 5

2,5 2,6,1 5 2 5

2,6 6,1 2,5 6 2

3,4 3,1 4,5 3 4

3,5 3,1 5 3 5

3,6 1 5 1 5

4,5 4,3,1 5 4 5

4,6 1 5 1 5

5,6 6,1 5 6 5

Так как любая пара элементов имеет единственную наибольшую нижнюю грань и единственную наименьшую верхнюю грань, то заданное частично упорядоченное множество М является решеткой.

Решетка М является дедекиндовой, когда выполняется равенство:

для таких , что .

Решетка М не является дедекиндовой, т.к. указанное равенство не выполняется, например, для элементов 2, 3, 4:

Одним из условий дистрибутивности решетки является ее дедекиндо-вость. Так как решетка М не является дедекиндовой, то она не является дистрибутивной решеткой.

Задание 4

Является ли полной система булевых функций ? Если система функций полная ,то выписать все возможные базисы.

Решение: Рассмотрим функцию .

1. Принадлежность функции к классу : .

Следовательно, .

2. Принадлежность функции к классу : .

Следовательно, .

3. Принадлежность функции к классу .

Предположим, что функция линейная и, следовательно, представима в виде полинома Жегалкина первой степени: .

Найдем коэффициенты .

Фиксируем набор 000: ,

,

Следовательно, .

Фиксируем набор 100: , ,

Следовательно, .

Фиксируем набор 010: , , .

Следовательно, .

Фиксируем набор 001: , , , .

Следовательно, функция (по нашему предположению) может быть представлена полиномом вида:

.

Если функция линейная, то на всех остальных наборах ее значение должно равняться 1. Но на наборе 111 . Значит, функция не является линейной, т.е. .

4. Принадлежность функции к классу .

Функция самодвойственная, если на любой паре противоположных наборов (наборов, сумма десятичных эквивалентов которых равна , где п - количество переменных функции) функция принимает противоположные значения.

Вычисляем . Вычисляем значения функции на оставшихся наборах:

Строим таблицу: (000) 0 (001) 1 (010) 2 (011) 3 (100) 4 (101) 5 (110) 6 (111) 7

1 1 1 1 1 1 1 0

На наборах 1 и 6, 2 и 5, 3 и 4 функция принимает одинаковые значения. Следовательно, .

5. Принадлежность функции к классу .

Из таблицы видно: 000 < 111 , но . Следовательно, .

Рассмотрим функцию .

1. Принадлежность функции к классу : .

Следовательно, .

2. Принадлежность функции к классу : .

Следовательно, .

3. Принадлежность функции к классу .

Предполагаем, что .

Фиксируем набор 000: , .

Фиксируем набор 100: , .

Фиксируем набор 010: , .

Фиксируем набор 001: , .

Окончательно получаем

.

Это равенство не соблюдается на наборе 011: , .

Следовательно, .

4. Принадлежность функции к классу .

Вычислим значения функции на оставшихся наборах:

Строим таблицу : (000) 0(001) 1(010) 2(011) 3(100) 4 (101) 5(110) 6(111) 7

1 1 1 0 0 0 0 0

Из таблицы видно, что на наборах 3 и 4 функция принимает одинаковые значения. Следовательно, .

5. Принадлежность функции к классу .

Из таблицы видно, что 111 > 000 , но . Следовательно, .

Строим критериальную таблицу:

К0 К1 КЛ КС КМ f1 - - - - - f2 - - - - -

В таблице в каждом столбце стоят минусы. Следовательно, система булевых функций является полной .

Найдем все возможные базисы. По критериальной таблице составим КНФ : .

Приведем КНФ к ДНФ : .

По полученной ДНФ выписываем искомые базисы: .

Задание 5

Минимизировать булеву функцию по методу Квайна - Мак-Класки.

Решение: 1 этап. Определение сокращенной ДНФ.

По десятичным эквивалентам запишем 0-кубы :

Выполним разбиение на подгруппы: .

Строим -кубы, сравнивая соседние группы (значок (*) указывает на участие данной импликанты в склеивании):

Выполняем разбиение всех -кубов в зависимости от расположения независимой переменной Х :

.

Выполняем сравнение кубов внутри каждой подгруппы с целью построения -кубов (значок (*) указывает на участие данной импликанты в склеивании): .

Выполняем сравнение кубов внутри каждой подгруппы с целью построения -кубов (значок (*) указывает на участие данной импликанты в склеивании): или .

Так как они одинаковы, то .

Запишем сокращенную ДНФ, в которую должны быть включены им-пликанта из К 3 и импликанты, не участвовавшие в склеивании (в нашем случае таких импликант нет) :

.

2 этап. Определение тупиковой ДНФ.

Так как все импликанты участвовали в склеивании, и сокращенная ДНФ состоит из одной простой импликанты, то строить таблицу покрытий нет необходимости, т.е.

.

Задание 6

Для неориентированного графа , у которого , а) вычислить числа ;

б) определить хроматическое число .

Решение: Построим граф:

а) Вычислим числа .

1) : Используя алгоритм выделения пустых подграфов, построим дерево:

Согласно определению :

.

2) : Используя алгоритм выделения полных подграфов, построим дерево:

Здесь - полные подграфы. Видно, что мощность носителей всех подграфов равна трем, т.е.

.

3) :

Построим модифицированную матрицу смежности заданного графа G :

1 2 3 4 5 6

.

Находим минимальное число строк, покрывающих все столбцы модифицированной матрицы . Таких строк - одна. Следовательно, . б) Определим хроматическое число .

Согласно алгоритму минимальной раскраски вершин графа, выделим все пустые подграфы графа G , т.е. построим дерево (оно построено в пункте а) ):

Построим таблицу: 1 2 3 4 5 6

1. {1,4,6} 1 1 1

2. {1,5} 1 1

3. {2,5} 1 1

4. {2,6} 1 1

5. {3} 1

Определяем минимальное число строк, покрывающих все столбцы таблицы. Такими строками могут быть строки 1, 3, 5. Значит, .

Зададимся красками: для множества вершин - краска синяя (С ), для множества вершин - краска красная ( К ), для множества вершин - краска зеленая ( З ).

Раскрасим вершины графа G :

Задание 7

Для заданной сети : а) найти величину минимального пути и сам путь от вершины до вершины по алгоритму Дейкстры ;

б) используя алгоритм Форда-Фалкерсона, определить максимальный поток ( v1 - вход , v6 - выход сети ) и указать минимальный разрез, отделяющий v1 от v6 , если задана матрица весов (длин, пропускных способностей) Р :

v1 v2 v3 v4 v5 v6

Решение: Построим сеть:

а) Найдем величину минимального пути и сам путь сети G . Используем для этого алгоритм Дейкстры.

Этап 1. Нахождение длины кратчайшего пути.

.

Шаг 1. Полагаем

1-я итерация.

Шаг 2. Составим множество вершин, непосредственно следующих за с временными метками: . Пересчитываем временные метки этих вершин: , .

Шаг 3. Одна из временных меток превращается в постоянную:

Шаг 4. Следовательно, возвращаемся на второй шаг.

2-я итерация.

Шаг 2.

Шаг 3.

Шаг 4. Переход на второй шаг.

3-я итерация.

Шаг 2.

Шаг 3.

Шаг 4.

Переход на второй шаг.

4-я итерация.

Шаг 2.

Шаг 3.

Шаг 4. Переход на второй шаг.

5-я итерация.

Шаг 2.

Шаг 3.

Шаг 4. Конец первого этапа.

Следовательно, длина кратчайшего пути равна .

Этап 2. Построение кратчайшего пути.

1-я итерация.

Шаг 5. Составим множество вершин, непосредственно предшествующих с постоянными метками : Проверим равенство для этих вершин: т.е. т.е.

Включаем дугу в кратчайший путь, Шаг 6. Возвращаемся на пятый шаг.

2-я итерация.

Шаг 5.

Включаем дугу в кратчайший путь, .

Шаг 6. . Завершение второго этапа.

Следовательно, кратчайший путь построен. Его образует последовательность дуг: .

Окончательно, кратчайший путь от вершины до вершины v6 построен. Его длина (вес) равна . Сам путь образует последовательность дуг:

б) Определим максимальный поток через сеть G. Для этого используем алгоритм Форда-Фалкерсона.

Выбираем произвольно путь из вершины v1 в вершину v6 . Пусть это будет путь . Минимальную пропускную способность на этом пути, равную 10, имеет дуга , т.е. Увеличим на этом пути поток до 10 единиц. Дуга становится насыщенной. Дуга имеет на данный момент пропускную способность, равную 10.

Путь Следовательно, поток на этом пути можно увеличить на 9 единиц. Дуги становятся насыщенными.

Других маршрутов нет (другие маршруты проходят через насыщенные дуги). Поток максимален. Делаем разрез вокруг вершины v1 по насыщенным дугам и получаем его величину единиц.

8. Используя алгоритм Краскала, построить остов с наименьшим весом для неориентированного взвешенного графа , у которого , если заданы веса (длины) ребер: ? Построим граф G :

1. Упорядочим ребра в порядке неубывания веса (длины):

2. Возьмем ребро u1 и поместим его в строящийся остов.

Возьмем ребро u2 и поместим его в строящийся остов (т.к. оно не образует с предыдущим ребром цикла).

Берем ребро u3 и помещаем его в строящийся остов (т.к. оно не образует с предыдущими ребрами цикла).

Берем ребро u4 и помещаем его в строящийся остов (т.к. оно не образует с предыдущими ребрами цикла).

Берем ребро u5 и помещаем его в строящийся остов (т.к. оно не образует цикла с предыдущими ребрами).

Ребра не рассматриваем, т.к. они образуют циклы с предыдущими ребрами.

Проверим окончание алгоритма. Число входящих в остов ребер равно 5. Заданный граф имеет п = 6 вершин и . Таким образом, остов содержит все вершины заданного графа G .

Вес (длина) построенного остова равен .

Литература

1. Горбатов В.А. Основы дискретной математики. - М.: Высшая школа, 1986. - 311 с.

2. Коршунов Ю.М. Математические основы кибернетики. - М.: Энерго атомиздат, 1987. - 496 с.

3. Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженера. - М.: Энергоатомиздат, 1988. - 480 с.

4. Шапорев С.Д. Дискретная математика. - СПБ.: БХВ-Петербург, 2006. - 400 с.

5. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 416 с.

6. Хаханов В.И., Чумаченко С.В. Дискретная математика ( конспект теоретического материала). - Харьков: ХНУРЭ, 2003. - 246 с.

7. Богданов А.Е. Курс лекций по дискретной математике.-Северодонецк: СТИ, 2006. - 190 с.

Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность
своей работы


Новые загруженные работы

Дисциплины научных работ





Хотите, перезвоним вам?