Описание общих принципов метода сеток, его применение к решению параболических уравнений. Исследование разрешимости получаемой системы разностных уравнений. Разработка программы для численного решения поставленной задачи, выполнение тестовых расчетов.
К дифференциальным уравнениям с частными производными приходим при решении самых разнообразных задач. Как правило, найти точное решение этих уравнений не удается, поэтому наиболее широкое применение получили приближенные методы их решения. В данной работе ограничимся рассмотрением дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка, а точнее дифференциальными уравнениями с частными производными второго порядка параболического типа, когда эти уравнения являются линейными, а искомая функция зависит от двух переменных.Число узлов будет характеризоваться основными размерами сетки : чем меньше , тем больше узлов содержит сетка. Присоединяя граничные условия сеточной задачи к разностным уравнениям, записанных для внутренних узлов, получаем систему уравнений, из которой определяем значения искомого решения во всех узлах сетки. Разностные уравнения (1.5) аппроксимируют уравнение (1.2) с погрешностью , уравнение (1.6) - с такой же погрешностью, а уравнение (1.7) уже аппроксимирует уравнение (1.2) с погрешностью . Конфигурация схемы (1.5) имеет вид: В схеме (1.6) также участвуют 4 узла, и эта схема имеет вид: В схеме (1.7) участвуют 5 узлов, и эта схема имеет вид: Первая и третья схемы - явные, вторая схема неявная. Для узлов начального (нулевого) слоя значения решения выписываются с помощью начального условия (1.3): Для граничных узлов, лежащих на прямых и , заменив производные по формулам численного дифференцирования, получаем из граничных условий (1.4) следующие уравнения: Уравнения (1.9) аппроксимируют граничные условия (1.4) с погрешностью , так как используем односторонние формулы численного дифференцирования.Рассмотрим частный случай задачи, поставленной в предыдущем разделе. В области найти решение уравнения с граничными условиями и начальным условием Рассмотрим устойчивую вычислительную схему, для которой величина не является ограниченной сверху, а, значит, шаг по оси и может быть выбран достаточно крупным. В результате уравнение (1.10) заменяется разностным: Перепишем (1.13) в виде: . Данная вычислительная схема имеет следующую конфигурацию: Система (1.14) - (1.16) представляет собой разностную задачу, соответствующую краевой задаче (1.10) - (1.12).При решении задачи методом сеток мы допускаем погрешность, состоящую из погрешности метода и вычислительной погрешности. Погрешность метода - это та погрешность, которая возникает в результате замены дифференциального уравнения разностным, а также погрешность, возникающая за счет сноса граничных условий с на . Вычислительная погрешность - это погрешность, возникающая при решении системы разностных уравнений, за счет практически неизбежных машинных округлений.Пусть есть решение уравнения (1.14), удовлетворяющее возмущенным начальным условиям и граничным условиям Погрешность будет удовлетворять уравнению Здесь числа и следует подобрать так, чтобы выражение (1.26) удовлетворяло уравнению (1.23) и граничным условиям (1.24). При целом удовлетворяет уравнению (1.23) и условиям (1.24). Подставим уравнение (1.26) в уравнение (1.24).Поставлена цель: разработать программный продукт для нахождения приближенного решения параболического уравнения: в области Разобьем область прямыми где Заменив в каждом узле производные конечно-разностными отношениями по неявной схеме, получим систему вида: . Для этого ищем значения функции в узле в виде Подставив значение (1.35) в (1.32) получим: .Она реализует алгоритм метода сеток, описанного в предыдущих разделах работы. Функция f (x, y) представляет собой свободную функцию двух переменных дифференциального уравнения (1.29). В качестве аргумента в нее передаются два вещественных числа с плавающей точкой типа float. На выходе функция возвращает значение функции , вычисленное в точке . Функции mu_1 (t) и mu_2 (t) представляют собой краевые условия.В качестве примера рассмотрим численное решение следующего дифференциального уравнения параболического типа: в области Задав прямоугольную сетку с шагом оси 0.1 и по оси 0.01, получим следующее решение: 2.10 1.91 1.76 1.63 1.53 1.44 1.37 1.31 1.26 1.22 1.18Раскрыты основные понятия метода, аппроксимация уравнения и граничных условий, исследована разрешимость и сходимость получаемой системы разностных уравнений.float f (float x, float t); float mu_1 (float t); float mu_2 (float t); float phi (float x); float tau = 0.
План
Содержание
Введение
1. Теоретическая часть
1.1 Метод сеток решения уравнений параболического типа
1.2 Метод прогонки решения разностной задачи для уравнений параболического типа
1.3 Оценка погрешности и сходимость метода сеток
1.4 Доказательство устойчивости разностной схемы
2. Реализация метода
2.1 Разработка программного модуля
2.2 Описание логики программного модуля
2.3 Пример работы программы
Заключение
Список источников
Приложение
Введение
К дифференциальным уравнениям с частными производными приходим при решении самых разнообразных задач. Например, при помощи дифференциальных уравнений с частными производными можно решать задачи теплопроводности, диффузии, многих физических и химических процессов.
Как правило, найти точное решение этих уравнений не удается, поэтому наиболее широкое применение получили приближенные методы их решения. В данной работе ограничимся рассмотрением дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка, а точнее дифференциальными уравнениями с частными производными второго порядка параболического типа, когда эти уравнения являются линейными, а искомая функция зависит от двух переменных. В общем случае такое уравнение записывается следующим образом: .
Заметим, что численными методами приходится решать и нелинейные уравнения, но находить их решение много труднее, чем решение линейных уравнений. введем в рассмотрение величину . В том случае, когда уравнение называется параболическим. В случае, когда величина не сохраняет знак, имеем смешанный тип дифференциального уравнения. Следует отметить, что в дифференциальном уравнении все функции являются известными, и они определены в области , в которой мы ищем решение.
Вывод
В работе был рассмотрен метод сеток решения параболических уравнений в частных производных. Раскрыты основные понятия метода, аппроксимация уравнения и граничных условий, исследована разрешимость и сходимость получаемой системы разностных уравнений.
На основании изученного теоретического материала была разработана программная реализация метода сеток, проанализирована ее сходимость и быстродействие, проведен тестовый расчет, построен графики полученного численного решения.
Список литературы
1. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.2. - М.: Физматгиз, 1962.
