Постановка задачи и основные этапы отыскания решения. Погрешности и критерии окончания метода деления отрезка пополам при решении нелинейного уравнения. Применение метода Ньютона, простых итераций, секущих и ложного положения при вычислительном процессе.
Аннотация к работе
Тема: Решение нелинейных уравненийМатематическая модель представляет собой формализованное описание на языке математики исследуемого объекта. Математическая модель должна охватывать важнейшие характеристики исследуемого объекта и отражать связи между ними. После того, как математическая модель составлена, переходят к постановке вычислительной задачи. Под вычислительными (численными) методами подразумеваются приближенные процедуры, позволяющие получать решение в виде конкретных числовых значений. Для решения одной и той же задачи могут быть использованы различные вычислительные методы, поэтому нужно уметь оценивать качество различных методов и эффективность их применения для данной задачи.Значение x*, при котором f(x*) = 0, называется корнем (или решением) уравнения (1). нелинейный погрешный вычислительный процесс Корень x* уравнения (2.1) называется простым, если первая производная функции f(x) в точке x* не равна нулю, т. е. f "(x*) 0. Если же f "(x*) = 0, то корень x* называется кратным корнем.В процессе приближенного отыскания корней уравнения (1) обычно выделяют два этапа: локализация (или отделение) корня и уточнение корня. Иногда удобно бывает локализовать корень с помощью построения графика или таблицы значений функции y = f(x). На наличие корня на отрезке [a, b] указывает различие знаков функции на концах отрезка. Если функция f непрерывна на отрезке [a, b] и принимает на его концах значения разных знаков, так, что f(a)f(b) <0, то отрезок [a, b] содержит по крайней мере один корень уравнения f(x) = 0. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a0, b0] и принимает на концах отрезка значения разных знаков, т.е. f(a0)f(b0) <0.Продолжая этот процесс неограниченно, получим последовательность приближений к корню: xn 1 = j(xn). Если в интервале, содержащем корень x* уравнения (2.4), а также его последовательные приближения x0, x1, …, xn, …, вычисляемые по формуле (2.5), выполнено условие: |j"(x)| ? q <1, (2.7) то x* = xn. т. е. итерационный процесс сходится и справедлива следующая оценка погрешности: |xn - x*| ? qn|x0 - x*| (2.8) Например, вычислив значения f(x) на концах отрезка, получим: f(p/6)> 0, а f(p/3)< 0, т. е. функция на концах отрезка имеет разные знаки, что в соответствии с теоремой 2.1 указывает на то, что внутри отрезка есть корень. Тогда найдется такая малая s-окрестность корня x*, что при произвольном выборе начального приближения x0 из этой окрестности итерационная последовательность, определенная по формуле (2.13) не выходит за пределы этой окрестности и справедлива оценка: |xn 1 - x*| ? C |xn - x*|2, n 0, (2.15) где С = s-1. Сходимость метода Ньютона зависит от того, насколько близко к корню выбрано начальное приближение.
План
Содержание
Введение
1. Постановка задачи
2. Основные этапы отыскания решения
3. Метод деления отрезка пополам (метод дихотомии, метод бисекции)