Постановка задачи и основные этапы отыскания решения. Погрешности и критерии окончания метода деления отрезка пополам при решении нелинейного уравнения. Применение метода Ньютона, простых итераций, секущих и ложного положения при вычислительном процессе.
Тема: Решение нелинейных уравненийМатематическая модель представляет собой формализованное описание на языке математики исследуемого объекта. Математическая модель должна охватывать важнейшие характеристики исследуемого объекта и отражать связи между ними. После того, как математическая модель составлена, переходят к постановке вычислительной задачи. Под вычислительными (численными) методами подразумеваются приближенные процедуры, позволяющие получать решение в виде конкретных числовых значений. Для решения одной и той же задачи могут быть использованы различные вычислительные методы, поэтому нужно уметь оценивать качество различных методов и эффективность их применения для данной задачи.Значение x*, при котором f(x*) = 0, называется корнем (или решением) уравнения (1). нелинейный погрешный вычислительный процесс Корень x* уравнения (2.1) называется простым, если первая производная функции f(x) в точке x* не равна нулю, т. е. f "(x*) 0. Если же f "(x*) = 0, то корень x* называется кратным корнем.В процессе приближенного отыскания корней уравнения (1) обычно выделяют два этапа: локализация (или отделение) корня и уточнение корня. Иногда удобно бывает локализовать корень с помощью построения графика или таблицы значений функции y = f(x). На наличие корня на отрезке [a, b] указывает различие знаков функции на концах отрезка. Если функция f непрерывна на отрезке [a, b] и принимает на его концах значения разных знаков, так, что f(a)f(b) <0, то отрезок [a, b] содержит по крайней мере один корень уравнения f(x) = 0. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a0, b0] и принимает на концах отрезка значения разных знаков, т.е. f(a0)f(b0) <0.Продолжая этот процесс неограниченно, получим последовательность приближений к корню: xn 1 = j(xn). Если в интервале, содержащем корень x* уравнения (2.4), а также его последовательные приближения x0, x1, …, xn, …, вычисляемые по формуле (2.5), выполнено условие: |j"(x)| ? q <1, (2.7) то x* = xn. т. е. итерационный процесс сходится и справедлива следующая оценка погрешности: |xn - x*| ? qn|x0 - x*| (2.8) Например, вычислив значения f(x) на концах отрезка, получим: f(p/6)> 0, а f(p/3)< 0, т. е. функция на концах отрезка имеет разные знаки, что в соответствии с теоремой 2.1 указывает на то, что внутри отрезка есть корень. Тогда найдется такая малая s-окрестность корня x*, что при произвольном выборе начального приближения x0 из этой окрестности итерационная последовательность, определенная по формуле (2.13) не выходит за пределы этой окрестности и справедлива оценка: |xn 1 - x*| ? C |xn - x*|2, n 0, (2.15) где С = s-1. Сходимость метода Ньютона зависит от того, насколько близко к корню выбрано начальное приближение.
План
Содержание
Введение
1. Постановка задачи
2. Основные этапы отыскания решения
3. Метод деления отрезка пополам (метод дихотомии, метод бисекции)
4. Метод простых итераций
5. Метод Ньютона (метод касательных)
6. Метод секущих (метод хорд)
7. Метод ложного положения
Краткие сведения о математиках
Список литературы
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
