Решение нелинейных уравнений методом итераций - Реферат

Если законы функционирования модели нелинейны, а моделируемые процесс или система обладают одной степенью свободы (т.е. имеют одну независимую переменную), то такая модель, как правило, описывается одним нелинейным уравнением. Необходимость отыскания корней нелинейных уравнений встречается в расчетах систем автоматического управления и регулирования, собственных колебаний машин и конструкций, в задачах кинематического анализа и синтеза, плоских и пространственных механизмов и других задачах. Решение уравнений третьей и четвертой степеней были получены усилиями итальянских математиков Ш. Затем наступила пора поиска формул для нахождения корней уравнений пятой и более высоких степеней. Решение общего уравнения n-ой степени a0xn a1xn-1 … an-1x an=0, a0?0 при n?5 нельзя выразить через коэффициенты с помощью действий сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня.Любое уравнение в общем случае можно представить в виде f (x ) = 0. Алгебраическими уравнениями называются уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). Алгебраическое уравнение в общем виде можно представить многочленом n-ой степени с действительными коэффициентами: f (x) = а0xn а1xn-1 ... Трансцендентными называются уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и т.д.), например: 2x-sin x = 0. Решить уравнение - это значит найти такое x, при котором уравнение превращается в тождество.Далее на отрезке [a,b], где функция имеет корень, выбирается произвольная точка x0 и далее последовательно вычисляется: (1) Если необходимо вычислить корень с точностью ?, то процесс итераций продолжается до тех пор, пока для двух последовательных приближений xn и xn-1 не будет выполнено: , при этом всегда выполняется , где ? задается погрешностью корня x*. Процесс определения интервала изоляции [a,b], содержащего только один из корней уравнения, называется отделением этого корня.На плоскости X0Y построим графики функции Y=x и Y=?(x). A0B1A1B2А2…(лестница), звенья которой попеременно параллельны оси 0X и оси 0Y, причем вершины A0,A1,A2… лежат на кривой Y=?(x). Общие абсциссы точек A1 и B1, A2 и B2 … представляют собой последовательные приближения x1, х2,…,хк,… корня x*, которые сходятся к нему монотонно и односторонне. 1 представлен случай, когда 0<j(x)<1, т.е. угол касательной к графику функции Y=?(x) меньше 450, т.е. a <450. A0B1A1B2A2… будет иметь вид спирали (рис.2).Рассмотрим уравнение у = ln(x) - x 1,8. Проверим условие сходимости, найдя производную от функции f(x) и подставив в получившееся выражения концы отрезка [2,3]. f ’(x) = (ln(x) 1,8)’ = 1/x; Как видим, условие сходимости итерационного процесса выполняется, т.е. f ’(x) <1. Из отрезка, на котором определен корень уравнения, выбираем произвольную точку xo = 2.Функции находят широкое применение в экономической теории и практике. Спектр используемых функций весьма широк: от простейших линейных до функций, получаемых по определенному алгоритму с помощью рекуррентных соотношений, связывающих состояния изучаемых объектов в разные периоды времени. Производство не может создавать продукцию из ничего. Рассмотрение понятия «производственная функция» начнем с наиболее простого случая, когда производство обусловлено только одним фактором. В этом случае производственная функция - это функция, независимая переменная которой принимает значения используемого ресурса (фактора производства), а зависимая переменная - значения объемов выпускаемой продукции y=f(x).Программа на Pascal состоит из отдельных разделов или блоков, которые должны располагаться в следующем порядке: - заголовок программы; Заголовок программы состоит из зарезервированного слова PROGRAM и имени программы: PROGRAM METODITERACCII; Раздел объявления переменных начинается служебным словом VAR: VAR x0, x1, e, a, b: real; Объявление функции состоит из: - ключевого слова FUNCTION, имени функции, списка формальных параметров и типа возвращаемого значения: - раздела объявления локальных переменных или констант, если он требуется; В своей программе я использовала формулы, содержащие стандартные функции: ln(x), cos(x) и sin(x): function f(x:real; a, b:real):real;Проблема повышения качества вычислений, как несоответствие между желаемым и действительным, существует и будет существовать в дальнейшем. Ее решению будет содействовать развитие информационных технологий, которое заключается как в совершенствовании методов организации информационных процессов, так и их реализации с помощью конкретных инструментов - сред и языков программирования.function f(x:real; a, b:real):real; function c(x:real; a, b:real):real; begin c:=a*cos(x) b; function s(x:real; a, b:real):real; Write ("1) x=a*ln(x) b 2) x=a*cos(x) b 3) x=a*sin(x) b Выберете функцию: ");Блок-схема метода итераций.

Содержание

Введение

Глава I. Исследование метода итераций

1.1 Нелинейные уравнения

1.2 Метод итераций

1.3 Геометрический смысл

1.4 Решение нелинейного уравнения методом итераций

1.5 Экономическое применение

Глава II. Разработка программы

2.1 Автоматизация метода

Заключение

Список использованных источников и литературы

Приложения

Если законы функционирования модели нелинейны, а моделируемые процесс или система обладают одной степенью свободы (т.е. имеют одну независимую переменную), то такая модель, как правило, описывается одним нелинейным уравнением.

Необходимость отыскания корней нелинейных уравнений встречается в расчетах систем автоматического управления и регулирования, собственных колебаний машин и конструкций, в задачах кинематического анализа и синтеза, плоских и пространственных механизмов и других задачах.

Методы решения квадратных уравнений были известны еще древним грекам. Решение уравнений третьей и четвертой степеней были получены усилиями итальянских математиков Ш. Ферро, Н. Тартальи, Дж. Картано, Л. Феррари в эпоху Возрождения. Затем наступила пора поиска формул для нахождения корней уравнений пятой и более высоких степеней. Настойчивые, но безрезультатные попытки продолжались около 300 лет и завершились благодаря работам норвежского математика Н. Абеля. Он доказал, что общее уравне6ие пятой и более высоких степеней неразрешимы в радикалах. Решение общего уравнения n-ой степени a0xn a1xn-1 … an-1x an=0, a0?0 при n?5 нельзя выразить через коэффициенты с помощью действий сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня.

Поэтому для решения линейных и нелинейных задач алгебры часто используют приближенные методы, позволяющие найти корни системы с заданной точностью. Эти методы представляют собой сходящийся итерационный процесс. Они не дают точного решения задачи, однако отличаются несколько большим быстродействием и порой изза ошибок округления даже при использовании чисел с двойной точностью могут дать ответ точнее, нежели полученный прямыми методами.

Предмет: метод итераций. Этот метод отличается от других тем, что по сравнению с другими методами, он является одним из наиболее простых методов определения корней нелинейных уравнений.

Объект: нелинейные уравнения.

Цели: исследовать метод итераций, автоматизировать его с применением в среде Pascal.

Достижение поставленных целей потребовало решение следующих задач: · Изучить метод итераций;

· Исследовать его применение;

· Разработать вычислительный алгоритм метода итераций;

· Составить программы решения систем нелинейных уравнений методом итераций в среде Turbo Pascal.

Проблема повышения качества вычислений, как несоответствие между желаемым и действительным, существует и будет существовать в дальнейшем. Ее решению будет содействовать развитие информационных технологий, которое заключается как в совершенствовании методов организации информационных процессов, так и их реализации с помощью конкретных инструментов - сред и языков программирования.

Для решения данных нелинейных уравнений использовался метод итераций. Этот метод отличается от других тем, что по сравнению с другими методами, он является одним из наиболее простых методов определения корней нелинейных уравнений.

В процессе создания курсовой был разработан алгоритм решения поставленной задачи. По этому алгоритму на языке Turbo Pascal составлена и отлажена программа. Созданная программа может служить органической частью решения более сложных задач. Анализ результатов показывает, что программа работает правильно и верно находит корни нелинейных уравнений.

1. Бахвалов Н. С., Численные методы. 4-е изд. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. - 636 с.: ил.

2. Вержбицкий В.М., Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения): Учеб. пособие для вузов. - М.: Высш. шк., 2001. - 382 с.:ил.

3. Волков Е. А., Численные методы: Учебное пособие. 4-е изд., стер. - СПБ.: Издательство «Лань», 2007. - 256 с.: ил. - (Учебники для вузов. Специальная литература).

4. Калиткин, Н.Н. Численные методы. [Электронный ресурс] / Н.Н. Калиткин. - М.: Питер, 2001. С. 504.

5. Копченова Н. В., Марон И. А., Вычислительная математика в примерах и задачах: учебное пособие. 2-е изд., стер. - СПБ.: Издательство «Лань», 2008. - 368 с. - (Учебники для вузов. Специальная литература).

6. Лапчик, М.П. Численные методы: Учеб. пособие для студ. вузов / М.П.Лапчик, М.И.Рагулина, Е.К.Хеннер; Под ред. М.П.Лапчика. - 2-е изд., стер. - М.: Издательский центр «Академия», 2005. - 384 с.