Решение краевой задачи на графе методом Ритца - Дипломная работа

Для описания и исследования сложных систем нередко используется такой подход, при котором сложный объект представляется составленным из отдельных элементов, приписанных ребрам некоторого графа. Если между элементами существуют взаимодействия, то такие взаимодействия могут быть отражены с помощью условий согласования и краевых условий. Целью данной работы послужили изучение модели сетки из трех струн, разработка алгоритма и написание затем программы для приближенного решения задачи на графе.Выведем уравнение малых колебаний струны. Струна, располагающаяся в положении равновесия между точками 0 и l на оси х, совершает малые колебания около этого положения. Если ? и p постоянны (т. е. струна однородна по плотности и упругости), , то мы получим уравнение: , (1.8) которое нас и интересовало. Граничные условия, естественные с физической точки зрения, здесь можно взять следующие: при t=0 заданы значения функции u(х,0) (т. е. известна форма начального отклонения) и функции ut(х,0) (известна начальная скорость каждой точки). Если бы имелось два решения уравнения струны u(1)(x,t) и u(2)(x,t), отвечающие одинаковым значениям u(1)(x,0)=u(2)(x,0) и u(1)(t)(x,0)=u(2)(t)(x,0), то их разность u(x,t) = u(1)(x,t) - u(2)(x,t) была бы также решением, удовлетворяющим нулевым условиям u(x,0)=0, ut(x,0)=0.Если функционал F(y) дифференцируем при y=y0, то при любом h функция F(y0 ht), как функция от числа t, дифференцируема в обычном смысле по t и при t=0 ее производная равна L(y0,h)=?F(y0,h). Линейный функционал L(y0,h), определенный единственным образом, называется дифференциалом или, чаще, вариацией функционала F в точке y0 и записывается ?F(y0,h). Вариация такого функционала существует и имеет вид: (2.3) Поставим задачу найти те точки, в которых функционал F(y) достигает экстремального значения - своего минимума или максимума. Во всякой точке y0, где дифференцируемый функционал F(y) достигает экстремума, первая вариация ?F(y0,h) функционала F при любом приращении h равна нулю.Если каждой из функций y(x) из некоторого множества функций Y сопоставлено число Ф[y(x)], то говорят, что на множество Y задан функционал. Задача минимизации функционала формулируется следующим образом:-найти функцию , на которой функционал достигает своей точной нижней грани на этом множестве: , y(x), . Не всякий функционал и не на всяком множестве имеет минимум. Наоборот, если в представлении есть функция, на которой функционал достигает минимума, то первая вариация функционала на этой функции равна 0, следовательно , какова бы ни была функция z(x). Это означает, что функция, на которой функционал (2.9) достигает минимума, является решением операторного уравнения (2.8).Общая схема численного решения заключается в сведении задачи (2.7) к поиску минимума функции многих переменных. Рассмотрим класс Vn пробных функций заданного вида: (2.17) содержащих n свободных параметров и принадлежащих множеству Vn. На этом классе функций рассматриваемый функционал будет функцией n переменных - свободных параметров: ; (2.18) найдя минимум функции Fn(a) и соответствующие ему значения параметров , мы определим функцию , на которой функционал достигает своего минимума в классе Vn. Будем называть функционал Ф[y(x)] непрерывным, если он непрерывно зависит от функции y(x), то есть если фиксировать y(x), то для любого ?>0 найдется такое ?(?)>0, что при выполнении будет выполняться равенство: .Рассмотрим абстрактную схему метода Ритца для нахождения приближения к обобщенному решению операторного уравнения. Будем искать приближение к обобщенному решению u0 уравнения Примером является решение корректно или некорректно поставленных задач для линейного операторного уравнения (2.8), приводящее к одному из функционалов: (2.21) Задача на нахождение минимума квадратичной функции F(a) посредством дифференцирования по переменным ak сводится к системе алгебраических линейных уравнений, ее нетрудно решить численно. Остальные функции выберем так, чтобы они удовлетворяли однородным краевым условиям типа (2.24) и при этом образовывали бы полную систему; например, согласно теореме Вейерштрасса, любую функцию можно аппроксимировать со сколь угодно высокой точностью алгебраическими или тригонометрическими многочленами.Введем основные понятия теории сплайнов, необходимые для дальнейшего рассмотрения задачи минимизации. Для целого k?0 обозначим через Ck=Ck[a,b] множество k раз непрерывно дифференцируемых на [a, b] функций, а через C-1[a, b] - множество кусочно-непрерывных функций с точками разрыва первого рода. Функция Sn,?(x) называется сплайном степени n дефекта ? (0???n 1) с узлами на стеке ?, если 1) на каждом отрезке [xi,xi 1] функция Sn,?(x) является многочленом степени n, то есть: Сплайн Sn,?(x) имеет непрерывные производные до n-? порядка, а производные более высших порядков, вообще говоря, терпят разрывы в узлах сетки. В математическом анализе встречаются конструкции, связанные с финитными функциями, то есть гладкими функциями, определяемыми на всей действительной оси и отличными от

Оглавление

Введение

1. Модельная задача уравнения колебаний струны

1.1 Вывод уравнения колебаний струны

1.2 Модельная задача деформации системы из трех струн

2. Вариационные методы

2.1 Поиск экстремума функционала

2.2 Минимизация функционала

2.3 Метод пробных функций

2.4 Метод Ритца

3. Решение модельной задачи

3.1 Подпространства сплайнов

3.2 Решение системы алгебраических уравнений

4. Описание программы и тестовые расчеты

Заключение

Список литературы

Приложение

Для описания и исследования сложных систем нередко используется такой подход, при котором сложный объект представляется составленным из отдельных элементов, приписанных ребрам некоторого графа. Примерами таких систем являются сетки из струн, решетки из стрежней, электрические и гидросети, задачи теплопроводности. Процессы, происходящие в каждом элементе, описываются с помощью дифференциальных уравнений. Если между элементами существуют взаимодействия, то такие взаимодействия могут быть отражены с помощью условий согласования и краевых условий.

Получившиеся в результате такого представления дифференциальные задачи часто не удается решить точно, в таком случае нужно искать иные возможности решения. Некоторые краевые задачи для дифференциальных уравнений имеют вариационную природу. Воспользовавшись этим наблюдением, мы получаем возможность найти приближенное решение задачи вариационными методами.

Целью данной работы послужили изучение модели сетки из трех струн, разработка алгоритма и написание затем программы для приближенного решения задачи на графе. Для реализации был выбран язык программирования Delphi 7.0. Существует множество пакетов прикладных программ, подходящих для решения таких задач, как поставленная в данной работе, но они универсальны и не учитывают особенности модели, такие как, например, разреженная матрица оператора, поэтому их работа сильно замедленна. Разработанная мной программа, напротив, индивидуальна, поэтому работает значительно быстрее, к тому же она может быть легко модифицирована для похожих моделей.