Решение двумерного уравнения колебаний с помощью программной системы Matlab - Курсовая работа

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» Решение двумерного уравнения колебаний с помощью программной системы Matlab Ключевые слова: уравнение колебаний струны, одномерное уравнение теплопроводности, численное решение, основное уравнение электростатики, среда Matlab, команда pdepe, графический интерфейс Цель работы: изучить численные методы решения уравнений в частных производных, язык программирования Matlab, правила применения встроенных функций Matlab, методику создания графического интерфейса и выполнить решение одномерного уравнения теплопроводности.Текс m-файла создающего интерфейс позволяющий решать уравнение теплопроводности Текст m-файла позволяющего решать уравнение теплопроводности при помощи встроенной функции pdepe связанный с интерфейсом Многие физические задачи связаны с решением задач математической физики, к которым относят задачи теплопроводности, диффузии, электростатики и электродинамики, задачи о течении жидкости, о распределении плотности электрического тока в проводящей среде, задачи о деформациях твердых тел и многие другие. Подобные задачи описываются дифференциальными уравнениями в частных производных с дополнительными уравнениями, выражающими граничные и начальные условия. Для решения уравнений математической физики в случае нескольких измерений используют численные методы, позволяющие преобразовать дифференциальные уравнения или их системы в системы алгебраических уравнений.Струна - это тонкая, гибкая натянутая нить, закрепленная в двух точках. Если струну отклонить от положения равновесия, то она будет совершать поперечные колебания. Будем обозначать смещение точек струны через . Полагая струну очень тонкой, можно пренебречь весом любого ее элемента и учитывать только силы натяжения и , действующие с обеих сторон. При этом нужно иметь в виду, что хотя натяжение вдоль струны по модулю постоянно, оно в отклоненной струне меняется по направлению от точки к точке.Если температура в различных точках тела неодинакова, то в нем происходит перераспределение тепла в соответствии с эмпирическим законом Фурье, согласно которому количество тепла , протекающее через малую площадку с площадью за короткий промежуток времени, прямо пропорционально площади , длительности промежутка и производной от температуры по нормали к площадке: , (1.11) где - коэффициент (внутренней) теплопроводности вещества. Введем понятие вектора плотности теплового потока , совпадающего по направлению с градиентом температуры, а по модулю равный количеству тепла, протекающего за одну секунду через единичную площадку, расположенную перпендикулярно к градиенту температуры. Происхождение знака минус в (1.11) и (1.12) понятно: градиент направлен в сторону возрастания температуры, а тепло течет к более холодным точкам тела. Пусть имеется однородное тело, температура внутри которого является функцией координат , , и времени : . Часть этого тепла идет на повышение температуры элемента , а остальная доля изза теплопроводности уйдет в окружающие слои тела.Поток напряженности через произвольную замкнутую поверхность равен (в абсолютной системе единиц) умноженной на алгебраической сумме зарядов, находящихся внутри этой поверхности: (1.28) В общем случае электрические заряды распределены по объему с некоторой плотностью . Поэтому вместо суммы в правой части (1.28) появляется интеграл: . Так как объем в (1.30) является произвольным, то равно нулю само подынтегральное выражение, и мы переходим к дифференциальной форме теоремы Гаусса: , (1.31) представляющей собой в теории электричества третье уравнение Максвелла.Граничные условия первого рода (условия Дирихле) для рассматриваемой задачи могут быть представлены в виде Граничные условия второго рода (условия Неймана) для рассматриваемой задачи могут быть представлены в виде Таким образом, в результате дискретизации получим систему линейных алгебраических уравнений размерностью , содержащую уравнения вида (2.12) для внутренних точек области и уравнения (2.8) или (2.10) и (2.9) или(2.11) для двух граничных точек. При запуске m-файла на выполнение в оперативной памяти компьютера могут храниться результаты предыдущих вычислений, причем имена переменных и массивов, значения которых хранятся в оперативной памяти, в принципе могут совпасть с именами переменных или матриц запускаемого m-файла, что при определенном стечении обстоятельств может привести к неверному результату производимых вычислений. Функция plot обеспечивает вывод результатов вычислений в виде графиков функций одной переменной.Для уравнения теплопроводности вектор определяет поток, а вектор описывает источники. Вычисление правой части рассматриваемой системы производится в функции PDE, данные о начальных условиях берутся из функции IC, а краевые условия задаются функцией ВС. Сетка по координате на интервале должна содержать не менее трех узлов и задается массивом , содержащим узлы в порядке возрастания координаты.

Содержание

Введение

1. Основные уравнения математической физики

1.1 Уравнение колебаний

1.2 Уравнение теплопроводности

1.3 Основное уравнение электростатики

2. Решение уравнений в частных производных с помощью Matlab

2.1 Численное решение граничной задачи для дифференциального уравнения 2-го порядка методом конечных разностей

2.2 Решение уравнения колебаний мембраны методом конечных разностей

2.3 Применение встроенной функции pdepe для решения системы уравнений в частных производных параболического типа

3. Создание графического интерфейса в среде Matlab

3.1 Графические окна системы Matlab и элементы управления

3.2 Создание основных элементов управления

3.3 Callback-функции

4. Решение прикладных задач средствами Matlab

4.1 Создание интерфейса

4.2 Зависимость решений уравнения теплопроводности от заданных параметров

Заключение

Список использованных источников

Приложение А. Пример m-файла численного решения граничной задачи для дифференциального уравнения 2-го порядка методом конечных разностей

Приложение Б. Пример m-файла решения уравнения колебаний мембраны методом конечных разностей

Приложение В. Пример m-файла решения уравнения теплопроводности с помощью встроенной функции pdepe

Приложение Г. Текс m-файла создающего интерфейс