Виды дифференциальных уравнений: обыкновенные, с частными производными, стохастические. Классификация линейных уравнений второго порядка. Нахождение функции Грина, ее применение для решения неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями.
При низкой оригинальности работы "Решение дифференциальных уравнений второго порядка с помощью функции Грина", Вы можете повысить уникальность этой работы до 80-100%
Исследование поведения различных систем (технические, экономические, экологические и др.) часто приводит к анализу и решению уравнений, включающих как параметры системы, так и скорости их изменения, аналитическим выражением которых являются производные. Такие уравнения, содержащие производные, называются дифференциальными. Решением уравнения (1.1) называется функция , обращающая уравнение в тождество. Процесс нахождения решения называется интегрированием дифференциального уравнения. Например, функция удовлетворяет уравнению и поэтому является его решением, однако это решение не единственно, т.к. семейство функций , где c - произвольная константа, также решение уравнения.Дифференциальное уравнение - уравнение , связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение ее производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, ее производные и независимые переменные; однако не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением. Стоит также отметить, что дифференциальное уравнение может вообще не содержать неизвестную функцию, некоторые ее производные и свободные переменные, но обязано содержать хотя бы одну из производных.Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) - это уравнения вида или , где - неизвестная функция (возможно, вектор-функция ; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от переменной времени , штрих означает дифференцирование по .Задача нахождения решения обыкновенного дифференциального уравнения или системы обыкновенных дифференциальных уравнений, удовлетворяющего некоторым начальным условиям, называется задачей Коши . Зная действующие силы (правая часть), можно решить это уравнение и, учитывая начальные условия (координаты и скорость в начальный момент времени), найти траекторию движения точки. Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися (отделяющимися) переменными, если его правая часть представима в виде f(x,y) = f1(x)f2(y). Это уравнение похоже на уравнение конического сечения: Так же, как конические сечения разделяются на эллипсы , параболы и гиперболы , в зависимости от знака дискриминанта D = B2 - AC, классифицируются уравнения второго порядка в заданной точке: - Гиперболическое уравнение , - Эллиптическое уравнение , - Параболическое уравнение (здесь предполагается, что в данной точке коэффициенты Будем считать, что на концах струны функция u(x,t) обращается в ноль: В начальный момент времени зададим начальные условия: Представим решение в виде: После подстановки в исходное уравнение колебаний, разделим на произведение X(x)T(t) получаем: Правая часть этого уравнения зависит от t, левая - от x, следовательно это уравнение может выполняться лишь тогда, когда обе его части равны постоянной величине, которую обозначим через - ?2: Отсюда находим уравнение для X(x): Нетривиальные решение этого уравнения при однородных краевых условиях возможны только при и имеют вид: Рассмотрим уравнение для отыскания T(t): Его решение: Следовательно, каждая функция вида является решением волнового уравнения.Среди методов решения таких уравнений центральное место занимает метод функций Грина. Дифференциальные уравнения в частных производных приходится решать, например, при рассмотрении следующих явлений. Движение частицы в квантовой механике описывается волновой функцией ф, которая удовлетворяет уравнению Шредингера Эти уравнения можно представить в форме где Н - некоторый эрмитов оператор, а в случае уравнения теплопроводности, В случае уравнения Шредингера и (3 = Xt в случае уравнения диффузии. Собственные функции оператора Н образуют полную ортонормированную систему и удовлетворяют уравнениюФункция Грина - используется для решения неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями (неоднородная краевая задача ). Функция Грина линейного оператора L, действующего на обобщенные функции над многообразием (в частности, над евклидовым пространством, в том числе над числовой прямой), определяется для точки x0 как решение уравнения Следует помнить, что вообще говоря функция Грина - не обычная, а обобщенная функция , то есть, иными словами, в некоторых случаях она может выпадать из класса обычных функций, например, иметь особенности вида дельта-функции или ее производных. Функции Грина полезны в электростатике - для решения уравнения Пуассона; в теории конденсированных сред - где они позволяют разрешить уравнение диффузии (и совпадающее с ним уравнение теплопроводности); в квантовой механике - где функция Грина гамильтониана является одной из ключевых концепций и имеет отношение к плотности состояний. В физике элементарных частиц функции Грина используются как пропагаторы в диаграммах Фейнмана (и выражение «функция Грина» часто применяется вообще к корреляционной функции в квантовой теории поля).
План
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1.1 Обыкновенные дифференциальные уравнения
1.2 Классификация уравнений второго порядка
ГЛАВА 2. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОМОЩЬЮ ФУНКЦИИ ГРИНА
2.1 Метод функций Грина
2.2 Примеры решения неоднородных дифференциальных уравнений с помощью функции Грина
2.3 Решение дифференциальных уравнений второго порядка с помощью функции Грина
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Список литературы
1. А.Ф. Филиппов Сборник задач по дифференциальным уравнениям . - ЛКИ, 2008. - 240 с. - ISBN 9785382004556
2. А.Д. Полянин, В.Ф. Зайцев, А.И. Журов. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. М.: Физматлит, 2005.
3. А.Д. Полянин, В. Ф. Зайцев. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: Точные решения. М.: Физматлит, 2002.
4. А.Д. Полянин. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: Физматлит, 2001.
5. В.И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1966.
6. В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка. М.: Физматлит, 2003.
7. В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Физматлит, 2001.
8. Л.Э. Эльсгольц. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969.
