Решение дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутты - Курсовая работа

Эти уравнения (или системы) включают соотношения между искомыми функциями и их производными. Если в уравнения входят производные только по одной переменной, то они называются обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ). В противном случае говорят об уравнениях в частных производных. Как известно, одно обыкновенное дифференциальное уравнение или система ОДУ имеет единственное решение, если помимо уравнения определенным образом заданы начальные или граничные условия.Целью данного проекта есть реализация решения ОДУ 1-го и 2-го порядка методом Рунге-Кутты и построение на ЭВМ системы отображения результатов в табличной форме и в виде графика. Разрабатываемая программа должна выполнять следующие функции: 1) Ввод пользователем данных.Методы их решения подразделяются на два класса: аналитические методы, в которых решение получается в виде аналитических функций; численные (приближенные) методы, где искомые интегральные кривые получают в виде таблиц их численных значений. В работе рассмотрен один из численных методов решения дифференциального уравнения - метод Рунге-Кутта. Ряд важных задач для уравнений в частных производных также сводятся к задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений. Различают три основных типа задач для решения обыкновенных дифференциальных уравнений: задачи Коши, краевые задачи и задачи на собственные значения.Формально, методом Рунге - Кутты является модифицированный и исправленный метод Эйлера , они представляют собой схемы второго порядка точности. Существуют стандартные схемы третьего порядка, не получившие широкого распространения.Из теории приближенных методов известно, что при шаге интегрирования h имеет место оценка , так что погрешность одного шага вычислений имеет порядок . Поэтому для оценки приближенного решения , полученного с шагом h, повторяют вычисление с шагом 2h и за абсолютную погрешность принимают число Методы Рунге-Кутта обладают следующими отличительными свойствами: * Эти методы одноступенчатые: чтобы найти y[m 1], нужна информация только о предыдущей точке x[m],y[m].Схема взаимодействия программ Программа представляет собой следующие функциональные блоки : Управляющая программа: функции: общее управление программой; Подпрограмма изображения пользовательского интерфейса: функции: изображение удобных для пользователя элементов управления и руководство ими; вх. данные: массивы значений связанных определенным отношением x и y(x) отображающие результаты расчета произвольного дифференциального уравнения 1-го или 2-го порядка методом Рунге-Кутты; вх. данные: : массивы значений связанных определенным отношением x и y(x) отображающие результаты ращета произвольного дифференциального уравнения 1-го и 2-го порядка методом Адамса;Входными данными для программы является само уравнение интервал интегрирования ,шаг . Выходными данными является выдача результатов в виде таблицы и графика. Требования к техническим средствам: · процессор не ниже Pentium IIПеречень программных документов: · Техническое задание;При запуске программы открывается окно, представленное на рис.1. Чтобы описать задачу пользователя, то есть указать задачу Коши, которую необходимо решить, нужно нажать кнопку Equation и появится следущее окно Возможные значения: "" - не выбрано, "Первый" - первого порядка, "Второй"-второго порядка), Уравнение(может вмещать любую формулу использую стандартную библиотеку Math, для удобства описание наиболее часто используемые функций было сокращено. Сокращенная запись Math.cos(x)acos(x), Math.sin(x)asin(x), Math.tan(x)atan(x), Math.pow(x,y) =>pow(x,y) - вознесение в степень у значение х, остальные тригонометрические, а также иные функции следует использовать как стандартные вызовы функций из библиотеки Math, Точка x0(условие задачи Коши, может быть дробным, если надо указать его дробным, соблюдайте следующий формат целая_часть.дробная_часть), Точка y(x0)( условие задачи Коши, может быть дробным, если надо указать его дробным, соблюдайте следующий формат целая_часть.дробная_часть). Точка y’(x0) (может быть задана при решении уравнения второго порядка, условие задачи Коши, может быть дробным, если надо указать его дробным, соблюдайте следующий формат целая_часть.дробная_часть), Шагов (указать во сколько шагов осуществить решение, этот параметр повлияет на точечность графика), Интервал (интервал, на котором будет отображена функция, нижняя_граница_интервала: верхняя_граница_интервала, интервал задается так чтобы нижняя граница интервала была меньше верхней и больше x0, заданного ранее).Решением данного дифференциального уравнения есть функция tan(x) которая имеет разрывы. Поскольку метод Адамса ищет значение в точках, зависящих от предыдущих точек , то в данной функции наступит момент когда решение в следующие точке отобразить нельзя, т.к оно стремится к ?.Контрольный пример №1 Решение дифференциального уравнения вида y’(x)=1 y x Решение дифференциального уравнения вида y’(x)=tan(x) Решение дифференциального уравнения вида y’(x)=x*(x2 1)Резуль

Содержание

ВВЕДЕНИЕ

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

2. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

2.1 Методы решения

2.2 Общая постановка задачи решения ОДУ

3. ПРОЕКТИРОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ

3.1 Математический метод решения задачи

3.1.1 Блок-схема метода Рунге-Кутты

3.1.2 Анализ погрешности метода

3.1.3 Достоинства и недостатки метода

3.2 Архитектура разрабатываемых програмних средств

3.3 Требования к программному изделию

3.4 Требования к программной документации

4. РУКОВОДСТВО ПОЛЬЗОВАТЕЛЯ

5. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ РАСЧЕТЫ

5.1 Контрольные примеры для решения на ЭВМ

5.2 Экспериментальные расчеты

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

ПРИЛОЖЕНИЕ