Нахождение особых точек уравнений, определение их типов, построение фазовых траекторий в окрестности каждой особой точки. Исследование циклических траекторий на изохронность, устойчивости нулевого решения, доказывание существования циклов в уравнениях.
Таким образом, получаем две точки покоя: и 1) Исследуем сначала тип состояния равновесия для точки . Матрица Якоби для рассматриваемой нелинейной системы имеет вид: Линеаризуем систему в данной особой точке и получим: Составим матрицу этой линейной системы и найдем ее собственные числа: Собственные числа - комплексные, причем действительная часть положительна, значит точка - состояние равновесия типа «неустойчивый фокус». После линеаризации система будет иметь вид: Собственные числа - действительные, причем , а , значит точка - состояние равновесия типа «седло». Найдем собственные векторы: Если P - прямая, направление которой определяется собственным вектором, соответствующим 1-му собственному значению (>0), а Q - собственным вектором, соответствующим 2-му собственному значению (<0), то существует ровно 2 фазовых траектории, которые при асимптотически приближаются к точке (0,0), касаясь в этой точке прямой Q; и существуют ровно 2 фазовых траектории, которые при асимптотически приближаются к точке (0,0), касаясь в этой точке прямой P. Воспользуемся средствами MATHCAD и найдем корни характеристического полинома для этих точек. a=4, b=1: a=6, b=2: a=1, b=2: a=1, b=3: Получили, что для точек (a,b) из полученной области все корни имеют отрицательную вещественную часть, а для точек, лежащих вне полученной области, некоторые корни имеют положительную действительную часть.
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
