Регрессионный анализ - Курсовая работа

Такое, на практике, получается, когда идет активный эксперимент, в котором задают значения (например, назначили зарплату работнику), а затем измеряют (оценили, какой стала производительность труда). Однако при небольшой взаимосвязи между переменными, если стандартизовать переменные и рассчитать уравнение регрессии для стандартизованных переменных, то оценки коэффициентов регрессии позволят по их абсолютной величине судить о том, какой аргумент в большей степени влияет на функцию. Функция f(x1, x2,…,xk ), описывающая зависимость условного среднего значения результативного признака у от заданных значений аргументов, называется функцией (уравнением) регрессии. Однако при небольшой взаимосвязи между переменными, если стандартизовать переменные и рассчитать уравнение регрессии для стандартизованных переменных, то оценки коэффициентов регрессии позволят по их абсолютной величине судить о том, какой аргумент в большей степени влияет на функцию. Дли сравнения на рисунке приводятся графики истинной функции регрессии f{х) =2x , теоретической аппроксимирующей функции регрессии = b0 b1 x.Приведем квадратное уравнение к линейной форме: ; Уравнение регрессии имеет вид: [7] Проверка адекватности модели по критерию Фишера. гипотеза о равенстве математического ожидания отвергается. Рассчитать и построить график уравнения прямолинейной регрессии для относительных значений PWC170 и времени челночного бега 3х10 м у 13 исследуемых и сделать вывод о точности расчета уравнений, если данные выборок таковы: xi, КГ м/мин/кг ~ 15,6; 13,4; 17,9; 12,8; 10,7; 15,7; 11,7; 12,3; 12,3; 11,1; 14,3; 12,7; 14,4 yi, с ~ 6,9; 7,2; 7,1; 6,7; 7,6; 7,0; 6,4; 6,9; 7,7; 7,6; 7,9; 8,2; 6,8 Рассчитать абсолютные погрешности уравнений регрессии по формулам (4) и (5): 5.

Содержание

Введение ………………………………………………………………………..…2

1. Основные понятия …………………………………………………………......3

1.1. Функциональные и стохастические связи ……………………………….....8

1.2. Статистические методы моделирования связи …………………………...12

1.3. Статистическое моделирование связи методом корреляционного и регрессионного анализа ………………………………………………………...13

2. Проверка адекватности регрессионной модели ……………………………18

3. Практическая часть …………………………………………………………..25

3.1. Оценка значимости коэффициентов регрессии …………………………..27

3.2. Проверка адекватности модели по критерию Фишера …………………..29

3.3. Проверка адекватности модели по коэффициенту детерминации или множественной корреляции ……………………………………………………30

Заключение ………………………………………………………………………34

Использованная литература ……………………………………………………35

В экономических исследованиях часто решают задачу выявления факторов, определяющих уровень и динамику экономического процесса. Такая задача чаще всего решается методами корреляционного, регрессионного, факторного и компонентного анализа. Задача регрессионного анализа состоит в построении модели, позволяющей по значениям независимых показателей получать оценки значений зависимой переменной. Регрессионный анализ является основным средством исследования зависимостей между социально-экономическими переменными. Эту задачу мы рассмотрим в рамках самой распространенной в статистических пакетах классической модели линейной регрессии. Специфика социологических исследований состоит в том, что очень часто необходимо изучать и предсказывать социальные события. Вторая часть данной главы будет посвящена регрессии, целью которой является построение моделей, предсказывающих вероятности событий. Величина называется ошибкой регрессии. Первые математические результаты, связанные с регрессионным анализом, сделаны в предположении, что регрессионная ошибка распределена нормально с параметрами, ошибка для различных объектов считаются независимыми. Кроме того, в данной модели мы рассматриваем переменные как неслучайные значения. Такое, на практике, получается, когда идет активный эксперимент, в котором задают значения (например, назначили зарплату работнику), а затем измеряют (оценили, какой стала производительность труда).

Все многообразие факторов, которые воздействуют на изучаемый процесс, можно разделить на две группы: главные (определяющие уровень изучаемого процесса) и второстепенные. Последние часто имеют случайный характер, определяя специфические и индивидуальные особенности каждого объекта исследования. Однако при небольшой взаимосвязи между переменными, если стандартизовать переменные и рассчитать уравнение регрессии для стандартизованных переменных, то оценки коэффициентов регрессии позволят по их абсолютной величине судить о том, какой аргумент в большей степени влияет на функцию. Стандартизация переменных. Бета коэффициенты. Коэффициенты в последнем уравнении получены при одинаковых масштабах изменения всех переменных и сравнимы. В случае взаимосвязи между аргументами в правой части уравнения могут происходить странные вещи. Надежность и значимость коэффициента регрессии. Здесь обозначен коэффициент детерминации, получаемый при построении уравнения регрессии, в котором в качестве зависимой переменной взята другая переменная. Из выражения видно, что величина коэффициента тем неустойчивее, чем сильнее переменная связана с остальными переменными. Эта статистика имеет распределение Стьюдента. В выдаче пакета печатается наблюдаемая ее двусторонняя значимость - вероятность случайно при нулевом регрессионном коэффициенте получить значение статистики, большее по абсолютной величине, чем выборочное. Значимость включения переменной в регрессию. При последовательном подборе переменных предусмотрена автоматизация, основанная на значимости включения и исключения переменных.

Взаимодействие главных и второстепенных факторов и определяет колеблемость исследуемого процесса. В этом взаимодействии синтезируется как необходимое, типическое, определяющее закономерность изучаемого явления, так и случайное, характеризующее отклонение от этой закономерности. Случайные отклонения неизбежно сопутствуют любому закономерному явлению. За это иногда зависимую переменную называют откликом. Теория регрессионных уравнений со случайными независимыми переменными сложнее, но известно, что, при большом числе наблюдений, использование метода разработанного корректно. Для получения оценок коэффициентов регрессии минимизируется сумма квадратов ошибок регрессии. В пакете вычисляются статистики, позволяющие решить эти задачи. Существует ли линейная регрессионная зависимость? Для проверки одновременного отличия всех коэффициентов регрессии от нуля проведем анализ квадратичного разброса значений зависимой переменной относительно среднего. Его можно разложить на две суммы следующим образом. Статистика в условиях гипотезы равенства нулю регрессионных коэффициентов имеет распределение Фишера и, естественно, по этой статистике проверяют, являются ли коэффициенты одновременно нулевыми. Коэффициенты детерминации и множественной корреляции. При сравнении качества регрессии, оцененной по различным зависимым переменным, полезно исследовать доли объясненной и необъясненной дисперсии. Корень из коэффициента детерминации называется коэффициентом корреляции. Следует иметь в виду, что является смещенной оценкой. Абсолютные значения коэффициентов не позволяют сделать такой вывод.

Для достоверного отображения объективно существующих в экономике процессов необходимо выявить существенные взаимосвязи и не только выявить, но и дать им количественную оценку. Этот подход требует вскрытия причинных зависимостей. Под причинной зависимостью понимается такая связь между процессами, когда изменение одного из них является следствием изменения другого.[4]

Не все факторы, влияющие на экономические процессы, являются случайными величинами. Поэтому при анализе экономических явлений обычно рассматриваются связи между случайными и неслучайными величинами. Такие связи называются регрессионными, а метод математической статистики, их изучающий, называется регрессионным анализом. Рассмотрим, что представляет собой эта значимость. Обозначим коэффициент детерминации, полученный при исключении из правой части уравнения переменной. При этом мы получим уменьшение объясненной дисперсии, на величину. Для оценки значимости включения переменной используется статистика, имеющая распределение Фишера при нулевом теоретическом приросте. Вообще, если из уравнения регрессии исключаются переменных, статистикой значимости исключения будет. Пошаговая процедура построения модели. Основным критерием отбора аргументов должно быть качественное представление о факторах, влияющих на зависимую переменную, которую мы пытаемся смоделировать. Очень хорошо реализован процесс построения регрессионной модели: на машину переложена значительная доля трудностей в решении этой задачи. Возможно построение последовательное построение модели добавлением и удалением блоков переменных. Но мы рассмотрим только работу с отдельными переменными. По умолчанию программа включает все заданные переменные.

1. Основные понятия.

С целью математического описания конкретного вида зависимостей с использованием регрессионного анализа подбирают класс функций, связывающих результативный показатель y и аргументы x1, x2,…,xk , отбирают наиболее информативные аргументы, вычисляют оценки неизвестных значений параметров уравнения связи и анализируют точность полученного уравнения.[8]

Функция f(x1, x2,…,xk ), описывающая зависимость условного среднего значения результативного признака у от заданных значений аргументов, называется функцией (уравнением) регрессии.

Термин "регрессия" (лат. - "regression" - отступление, возврат к чему-либо) введен английским психологом и антропологом Ф.Гальтпном и связан только со спецификой одного из первых конкретных примеров, в котором это понятие было использовано.

Обрабатывая статистические данные в связи с вопросом о наследственности роста, Ф.Гальтон нашел, что если отцы отклоняются от среднего роста всех отцов на x дюймов, то их сыновья отклоняются от среднего роста всех сыновей меньше, чем на x дюймов. Выявленная тенденция была названа «регрессией к среднему состоянию». Задача регрессионного анализа состоит в построении модели, позволяющей по значениям независимых показателей получать оценки значений зависимой переменной. Регрессионный анализ является основным средством исследования зависимостей между социально-экономическими переменными. Эту задачу мы рассмотрим в рамках самой распространенной в статистических пакетах классической модели линейной регрессии. Специфика социологических исследований состоит в том, что очень часто необходимо изучать и предсказывать социальные события. Вторая часть данной главы будет посвящена регрессии, целью которой является построение моделей, предсказывающих вероятности событий. Величина называется ошибкой регрессии. Первые математические результаты, связанные с регрессионным анализом, сделаны в предположении, что регрессионная ошибка распределена нормально с параметрами, ошибка для различных объектов считаются независимыми. Кроме того, в данной модели мы рассматриваем переменные как неслучайные значения. Такое, на практике, получается, когда идет активный эксперимент, в котором задают значения (например, назначили зарплату работнику), а затем измеряют (оценили, какой стала производительность труда).

Для точного описания уравнения регрессии необходимо знать условный закон распределения результативного показателя у. В статистической практике такую информацию получить обычно не удается, поэтому ограничиваются поиском подходящих аппроксимаций для функции f( x1, x2,…,xk ), основанных на исходных статистических данных.

В рамках отдельных модельных допущений о типе распределения вектора показателей (у, x1, x2,…,xk ) может быть получен общий вид уравнения регрессии f(x)=M(y/x) x=( x1, x2,…,xk ) . Например, в предложении, что исследуемая совокупность показателей подчиняется (k 1) - мерному нормальному закону распределения с вектором математических ожиданий

M = , где Mx = , my = MY и ковариационной матрицей S = , где syy = s2у = M (y-My) ;

S yx = ; S xx = ;

s ij = M (xi - Mxi);(xj - Mxj); sjj = sj = M (xj - Mxj) .[12]

Из этого следует, что уравнение регрессии (условное математическое ожидание) имеет вид: M(y/x) = my (x - Mx).

Таким образом, если многомерная случайная величина (у, x1, x2,…,xk ) подчиняется (k 1)-мерному нормальному закону распределения, то уравнение регрессии результативного показателя у по объясняющим переменным x1, x2,…,xk имеет линейный по х вид. Метод включения и исключения переменных состоит в следующем. Из множества факторов, рассматриваемых исследователем как возможные аргументы регрессионного уравнения, отбирается один, который более всего связан корреляционной зависимостью. Далее проводится та же процедура при двух выбранных переменных, при трех и т.д. Процедура повторяется до тех пор, пока в уравнение не будут включены все аргументы выделенные исследователем, удовлетворяющие критериям значимости включения. Замечание: во избежание зацикливания процесса включения исключения значимость включения устанавливается меньше значимости исключения. Переменные, порождаемые регрессионным уравнением. Сохранение переменных, порождаемых регрессией, производится подкомандой. Благодаря полученным оценкам коэффициентов уравнения регрессии могут быть оценены прогнозные значения зависимой переменной, причем они могут быть вычислены и там, где значения определены, и там где они не определены.

Однако в статистической практике обычно приходится ограничиваться поиском подходящих аппроксимаций для неизвестной истинной функции регрессии f(x), так как исследователь не располагает точным знанием условного закона распределения вероятностей анализируемого результатирующего показателя у при заданных эначениях аргументов х=х.

Рассмотрим взаимоотношение между истиной f(х)= M(y/x), модельной у и оценкой у регрессии. Однако при небольшой взаимосвязи между переменными, если стандартизовать переменные и рассчитать уравнение регрессии для стандартизованных переменных, то оценки коэффициентов регрессии позволят по их абсолютной величине судить о том, какой аргумент в большей степени влияет на функцию. Стандартизация переменных. Бета коэффициенты. Коэффициенты в последнем уравнении получены при одинаковых масштабах изменения всех переменных и сравнимы. В случае взаимосвязи между аргументами в правой части уравнения могут происходить странные вещи. Надежность и значимость коэффициента регрессии. Здесь обозначен коэффициент детерминации, получаемый при построении уравнения регрессии, в котором в качестве зависимой переменной взята другая переменная. Из выражения видно, что величина коэффициента тем неустойчивее, чем сильнее переменная связана с остальными переменными. Эта статистика имеет распределение Стьюдента. В выдаче пакета печатается наблюдаемая ее двусторонняя значимость - вероятность случайно при нулевом регрессионном коэффициенте получить значение статистики, большее по абсолютной величине, чем выборочное. Значимость включения переменной в регрессию. При последовательном подборе переменных предусмотрена автоматизация, основанная на значимости включения и исключения переменных.

Пусть результативный показатель у связан с аргументом х соотношением:: y = e , где e - случайная величина, имеющая нормальный закон распределения, причем М e = 0 и D e = .

Истинная функция регрессии в этом случае имеет вид: F(x) = M(y/x) = 2x .

Предположим, что точный вид истинного уравнения регрессии нам не известен, но мы располагаем девятъю наблюдениями над двумерной случайной величиной, связанной соотношением уі = 2x ei, и представленной на рисунке: у

70

60

50

40

30

20

10

0

0 2 4 6 8 10

Взаимное расположение истинной f(x) и теоритической у модели регрессии.

Расположение точек на рисунке позволяет ограничиться классом линейных зависимостей вида: у = b0 b1 x.[2]

С помощью метода наименьших квадратов найдем оценку уравнения регрессии у = b0 b1 x.

Дли сравнения на рисунке приводятся графики истинной функции регрессии f{х) =2x , теоретической аппроксимирующей функции регрессии = b0 b1 x. К последней сходится по вероятности оценка уравнения регрессии при неограниченном увеличении объема выборки (n ).

Поскольку мы ошиблись в выборе класса функции регрессии, что, к сожалению, достаточно часто встречается в практике статистических исследований, то наши статистические выводы и оценки не будут обладать свойством состоятельности, т.е., как бы мы не увеличивали объем наблюдений, наша выборочная оценка не будет сходиться к истинной функции регрессии f(х). Задача регрессионного анализа состоит в построении модели, позволяющей по значениям независимых показателей получать оценки значений зависимой переменной. Регрессионный анализ является основным средством исследования зависимостей между социально-экономическими переменными. Эту задачу мы рассмотрим в рамках самой распространенной в статистических пакетах классической модели линейной регрессии. Специфика социологических исследований состоит в том, что очень часто необходимо изучать и предсказывать социальные события. Вторая часть данной главы будет посвящена регрессии, целью которой является построение моделей, предсказывающих вероятности событий. Величина называется ошибкой регрессии. Первые математические результаты, связанные с регрессионным анализом, сделаны в предположении, что регрессионная ошибка распределена нормально с параметрами, ошибка для различных объектов считаются независимыми. Кроме того, в данной модели мы рассматриваем переменные как неслучайные значения. Такое, на практике, получается, когда идет активный эксперимент, в котором задают значения (например, назначили зарплату работнику), а затем измеряют (оценили, какой стала производительность труда).

Если бы мы правильно выбрали класс функций регрессии, то неточность в описании f(x) с помощью объяснялась бы только ограниченностью выборки и, следовательно, она могла бы быть сделана сколько угодно малой при n .

С целью наилучшего восстановления по исходным статистическим данным условного значения результатирующего показателя у(х) и неизвестной функции регрессии f(x) = M(y/x) наиболее часто используют следующие критерии адекватности (функции потерь).[7]

1. Метод наименьших квадратов, согласно которому минимизируется квадрат отклонения наблюдаемых значений результативного показателя yi(i=1,2,…,n) от модельных значений i = f(xi, b), где b = (b0, b1,…,bk) - коэффициенты уравнения регрессии, xi - значение вектора аргументов в i-м наблюдении: .

Решается задача отыскания оценки вектора b. Получаемая регрессия называется среднеквадратической. За это иногда зависимую переменную называют откликом. Теория регрессионных уравнений со случайными независимыми переменными сложнее, но известно, что, при большом числе наблюдений, использование метода разработанного корректно. Для получения оценок коэффициентов регрессии минимизируется сумма квадратов ошибок регрессии. В пакете вычисляются статистики, позволяющие решить эти задачи. Существует ли линейная регрессионная зависимость? Для проверки одновременного отличия всех коэффициентов регрессии от нуля проведем анализ квадратичного разброса значений зависимой переменной относительно среднего. Его можно разложить на две суммы следующим образом. Статистика в условиях гипотезы равенства нулю регрессионных коэффициентов имеет распределение Фишера и, естественно, по этой статистике проверяют, являются ли коэффициенты одновременно нулевыми. Коэффициенты детерминации и множественной корреляции. При сравнении качества регрессии, оцененной по различным зависимым переменным, полезно исследовать доли объясненной и необъясненной дисперсии. Корень из коэффициента детерминации называется коэффициентом корреляции. Следует иметь в виду, что является смещенной оценкой. Абсолютные значения коэффициентов не позволяют сделать такой вывод.

2. Метод наименьших модулей, согласно которому минимизируется сумма абсолютных отклонений наблюдаемых значений результативного показателя от модульных значений = f(xi, b), т.е.

.

Получаемая регрессия называется среднеабсолютной (медианой).

3. Метод минимакса сводится к минимизации максимума модуля отклонения наблюдаемого значения результативного показателя yi от модельного значения f(xi, b), т.е.

.

Получаемая при этом регрессия называется минимаксной. Рассмотрим, что представляет собой эта значимость. Обозначим коэффициент детерминации, полученный при исключении из правой части уравнения переменной. При этом мы получим уменьшение объясненной дисперсии, на величину. Для оценки значимости включения переменной используется статистика, имеющая распределение Фишера при нулевом теоретическом приросте. Вообще, если из уравнения регрессии исключаются переменных, статистикой значимости исключения будет. Пошаговая процедура построения модели. Основным критерием отбора аргументов должно быть качественное представление о факторах, влияющих на зависимую переменную, которую мы пытаемся смоделировать. Очень хорошо реализован процесс построения регрессионной модели: на машину переложена значительная доля трудностей в решении этой задачи. Возможно построение последовательное построение модели добавлением и удалением блоков переменных. Но мы рассмотрим только работу с отдельными переменными. По умолчанию программа включает все заданные переменные.

В практических положениях часто встречаются задачи, в которых изучается случайная величина у, зависящая от некоторого множества переменных x1, x2,…,xk и неизвестных параметров bj(j=0,1,2,…,k). Будем рассматривать (у, x1, x2,…,xk ) как (k 1) - мерную генеральную совокупность, из которой взята случайная выборка объемов n, где (уі,xi1,xi2,…,xik) результат i-го наблюдения i=1,2,…,n. Требуется по результатам наблюдений оценить неизвестные параметры bj(j=0,1,2,…,k). [4]

1.1. Функциональные и стохастические связи.

Между различными явлениями и их признаками необходимо прежде всего выделить 2 типа связей: функциональную (жестко детерминированную) и статистическую (стохастически детерминированную).

В соответствии с жестко детерминистическим представлением о функционировании экономических систем необходимость и закономерность однозначно проявляются в каждом отдельном явлении, то есть любое действие вызывает строго определенный результат; случайными (непредвиденными заранее) воздействиями при этом пренебрегают. Поэтому при заданных начальных условиях состояние такой системы может быть определено с вероятностью, равной 1. Разновидностью такой закономерности является функциональная связь. Задача регрессионного анализа состоит в построении модели, позволяющей по значениям независимых показателей получать оценки значений зависимой переменной. Регрессионный анализ является основным средством исследования зависимостей между социально-экономическими переменными. Эту задачу мы рассмотрим в рамках самой распространенной в статистических пакетах классической модели линейной регрессии. Специфика социологических исследований состоит в том, что очень часто необходимо изучать и предсказывать социальные события. Вторая часть данной главы будет посвящена регрессии, целью которой является построение моделей, предсказывающих вероятности событий. Величина называется ошибкой регрессии. Первые математические результаты, связанные с регрессионным анализом, сделаны в предположении, что регрессионная ошибка распределена нормально с параметрами, ошибка для различных объектов считаются независимыми. Кроме того, в данной модели мы рассматриваем переменные как неслучайные значения. Такое, на практике, получается, когда идет активный эксперимент, в котором задают значения (например, назначили зарплату работнику), а затем измеряют (оценили, какой стала производительность труда).

Связь признака у с признаком х называется функциональной, если каждому возможному значению независимого признака х соответствует 1 или несколько строго определенных значений зависимого признака у. Определение функциональной связи может быть легко обобщено для случая многих признаков х1,х2 …xn . Метод включения и исключения переменных состоит в следующем. Из множества факторов, рассматриваемых исследователем как возможные аргументы регрессионного уравнения, отбирается один, который более всего связан корреляционной зависимостью. Далее проводится та же процедура при двух выбранных переменных, при трех и т.д. Процедура повторяется до тех пор, пока в уравнение не будут включены все аргументы, выделенные исследователем, удовлетворяющие критериям значимости включения. Замечание: во избежание зацикливания процесса включения исключения значимость включения устанавливается меньше значимости исключения. Переменные, порождаемые регрессионным уравнением. Сохранение переменных, порождаемых регрессией, производится подкомандой. Благодаря полученным оценкам коэффициентов уравнения регрессии могут быть оценены прогнозные значения зависимой переменной, причем они могут быть вычислены и там, где значения определены, и там где они не определены.

Характерной особенностью функциональных связей является то, что в каждом отдельном случае известен полный перечень факторов, определяющих значение зависимого (результативного) признака, а также точный механизм их влияния, выраженный определенным уравнением.

Функциональную связь можно представить уравнением: yi= A(xi), где yi - результативный признак ( i = 1, … , n);

f(xi) - известная функция связи результативного и факторного признаков;

xi - факторный признак.[11]

В реальной общественной жизни ввиду неполноты информации жестко детерминированной системы, может возникнуть неопределенность, изза которой эта система по своей природе должна рассматриваться как вероятностная, при этом связь между признаками становится стахостической.

Стахостическая связь - это связь между величинами, при которой одна из них, случайная величина у, реагирует на изменение другой величины х или других величин х1,х2 …xn (случайных или неслучайных) изменением закона распределения. Это обуславливается тем, что зависимая переменная (результативный признак), кроме рассматриваемых независимых, подвержена влиянию ряда неучтенных или неконтролируемых (случайных) факторов, а также некоторых неизбежных ошибок измерения переменных. Поскольку значения зависимой переменной подвержены случайному разбросу, они не могут быть предсказаны с достаточной точностью, а только указаны с определенной вероятностью.

Характерной особенностью стахостических связей является то, что они проявляются во всей совокупности, а не в каждой ее единице. Причем неизвестен ни полный перечень факторов, определяющих значение результативного признака, ни точный механизм их функционирования и взаимодействия с результативным признаком. Всегда имеет место влияние случайного. Появляющиеся различные значения зависимой переменной - реализация случайной величины. Однако при небольшой взаимосвязи между переменными, если стандартизовать переменные и рассчитать уравнение регрессии для стандартизованных переменных, то оценки коэффициентов регрессии позволят по их абсолютной величине судить о том, какой аргумент в большей степени влияет на функцию. Стандартизация переменных. Бета коэффициенты. Коэффициенты в последнем уравнении получены при одинаковых масштабах изменения всех переменных и сравнимы. В случае взаимосвязи между аргументами в правой части уравнения могут происходить странные вещи. Надежность и значимость коэффициента регрессии. Здесь обозначен коэффициент детерминации, получаемый при построении уравнения регрессии, в котором в качестве зависимой переменной взята другая переменная. Из выражения видно, что величина коэффициента тем неустойчивее, чем сильнее переменная связана с остальными переменными. Эта статистика имеет распределение Стьюдента. В выдаче пакета печатается наблюдаемая ее двусторонняя значимость - вероятность случайно при нулевом регрессионном коэффициенте получить значение статистики, большее по абсолютной величине, чем выборочное. Значимость включения переменной в регрессию. При последовательном подборе переменных предусмотрена автоматизация, основанная на значимости включения и исключения переменных.

Модель стохастической связи может быть представлена в общем виде уравнением: yi = A(xi) ei , где yi - расчетное значение результативного признака;

f(xi) - часть результативного признака, сформировавшаяся под воздействием учтенных известных факторных признаков(одного или множества), находящихся в стахостической связи с признаком;

ei - часть результативного признака, возникшая в следствие действия неконтролируемых или неучтенных факторов, а также измерения признаков, неизбежно сопровождающегося некоторыми случайными ошибками. За это иногда зависимую переменную называют откликом. Теория регрессионных уравнений со случайными независимыми переменными сложнее, но известно, что, при большом числе наблюдений, использование метода разработанного корректно. Для получения оценок коэффициентов регрессии минимизируется сумма квадратов ошибок регрессии. В пакете вычисляются статистики, позволяющие решить эти задачи. Существует ли линейная регрессионная зависимость? Для проверки одновременного отличия всех коэффициентов регрессии от нуля проведем анализ квадратичного разброса значений зависимой переменной относительно среднего. Его можно разложить на две суммы следующим образом. Статистика в условиях гипотезы равенства нулю регрессионных коэффициентов имеет распределение Фишера и, естественно, по этой статистике проверяют, являются ли коэффициенты одновременно нулевыми. Коэффициенты детерминации и множественной корреляции. При сравнении качества регрессии, оцененной по различным зависимым переменным, полезно исследовать доли объясненной и необъясненной дисперсии. Корень из коэффициента детерминации называется коэффициентом корреляции. Следует иметь в виду, что является смещенной оценкой. Абсолютные значения коэффициентов не позволяют сделать такой вывод.

Проявление стохастических связей подвержено действию закона больших чисел: лишь в достаточно большом числе единиц индивидуальные особенности сгладятся, случайности взаимопогасятся, и зависимость, если она имеет существенную силу, проявится достаточно отчетливо. [6]

Корреляционная связь существует там, где взаимосвязанные явления характеризуются только случайными величинами. При такой связи среднее значение (математическое ожидание) случайной величины результативного признака у закономерно изменяется в зависимости от изменения другой величины х или других случайных величин х1,х2 …xn. Корреляционная связь проявляется не в каждом отдельном случае, а во всей совокупности в целом. Только при достаточно большом количестве случаев каждому значению случайного признака х будет соответствовать распределение средних значений случайного признака у. Наличие корреляционных связей присуще многим общественным явлениям. Задача регрессионного анализа состоит в построении модели, позволяющей по значениям независимых показателей получать оценки значений зависимой переменной. Регрессионный анализ является основным средством исследования зависимостей между социально-экономическими переменными. Эту задачу мы рассмотрим в рамках самой распространенной в статистических пакетах классической модели линейной регрессии. Специфика социологических исследований состоит в том, что очень часто необходимо изучать и предсказывать социальные события. Вторая часть данной главы будет посвящена регрессии, целью которой является построение моделей, предсказывающих вероятности событий. Величина называется ошибкой регрессии. Первые математические результаты, связанные с регрессионным анализом, сделаны в предположении, что регрессионная ошибка распределена нормально с параметрами, ошибка для различных объектов считаются независимыми. Кроме того, в данной модели мы рассматриваем переменные как неслучайные значения. Такое, на практике, получается, когда идет активный эксперимент, в котором задают значения (например, назначили зарплату работнику), а затем измеряют (оценили, какой стала производительность труда).

Корреляционная связь - понятие более узкое, чем стохастическая связь. Последняя может отражаться не только в изменении средней величины, но и в вариации одного признака в зависимости от другого, то есть любой другой характеристики вариации. Таким образом, корреляционная связь является частным случаем стохастической связи.

Прямые и обратные связи. В зависимости от направления действия, функциональные и стахостические связи могут быть прямые и обратные. При прямой связи направление изменения результативного признака совпадает с направлением изменения признака-фактора, то есть с увеличением факторного признака увеличивается и результативный, и, наоборот, с уменьшением факторного признака уменьшается и результативный признак. В противном случае между рассматриваемыми величинами существуют обратные связи. Например, чем выше квалификация рабочего (разряд), тем выше уровень производительности труда - прямая связь. А чем выше производительность труда, тем ниже себестоимость единицы продукции - обратная связь. Рассмотрим, что представляет собой эта значимость. Обозначим коэффициент детерминации, полученный при исключении из правой части уравнения переменной. При этом мы получим уменьшение объясненной дисперсии, на величину. Для оценки значимости включения переменной используется статистика, имеющая распределение Фишера при нулевом теоретическом приросте. Вообще, если из уравнения регрессии исключаются переменных, статистикой значимости исключения будет. Пошаговая процедура построения модели. Основным критерием отбора аргументов должно быть качественное представление о факторах, влияющих на зависимую переменную, которую мы пытаемся смоделировать. Очень хорошо реализован процесс построения регрессионной модели: на машину переложена значительная доля трудностей в решении этой задачи. Возможно построение последовательное построение модели добавлением и удалением блоков переменных. Но мы рассмотрим только работу с отдельными переменными. По умолчанию программа включает все заданные переменные.

Прямолинейные и криволинейные связи. По аналитическому выражению (форме) связи могут быть прямолинейными и криволинейными. При прямолинейной связи с возрастанием значения факторного признака происходит непрерывное возрастание (или убывание) значений результативного признака. Математически такая связь представляется уравнением прямой, а графически - прямой линией. Отсюда ее более короткое название - линейная связь. При криволинейных связях с возрастанием значения факторного признака возрастание (или убывание) результативного признака происходит неравномерно, или же направление его изменения меняется на обратное. Геометрически такие связи представляются кривыми линиями (гиперболой, параболой и т.д.).

Однофакторные и многофакторные связи. По количеству факторов, действующих на результативный признак, связи различаются: однофакторные (один фактор) и многофакторные (два и более факторов). Однофакторные (простые) связи обычно называются парными (т.к. рассматривается пара признаков). Например, корреляционная связь между прибылью и производительностью труда. В случае многофакторной (множественной) связи имеют в виду, что все факторы действуют комплексно, то есть одновременно и во взаимосвязи. Например, корреляционная связь между производительностью труда и уровнем организации труда, автоматизации производства, квалификации рабочих, производственным стажем, простоями и другими факторными признаками. С помощью множественной корреляции можно охватить весь комплекс факторных признаков и объективно отразить существующие множественные связи. Метод включения и исключения переменных состоит в следующем. Из множества факторов, рассматриваемых исследователем как возможные аргументы регрессионного уравнения, отбирается один, который более всего связан корреляционной зависимостью. Далее проводится та же процедура при двух выбранных переменных, при трех и т.д. Процедура повторяется до тех пор, пока в уравнение не будут включены все аргументы, выделенные исследователем, удовлетворяющие критериям значимости включения. Замечание: во избежание зацикливания процесса включения исключения значимость включения устанавливается меньше значимости исключения. Переменные, порождаемые регрессионным уравнением. Сохранение переменных, порождаемых регрессией, производится подкомандой. Благодаря полученным оценкам коэффициентов уравнения регрессии могут быть оценены прогнозные значения зависимой переменной, причем они могут быть вычислены и там, где значения определены, и там где они не определены.

1.2. Статистические методы моделирования связи.

Для исследования стохастических связей широко используется метод сопоставления двух параллельных рядов, метод аналитических группировок, корреляционный анализ, регрессионный анализ и некоторые непараметрические методы.[1]

Метод сопоставления двух параллельных рядов является одним из простейших методов. Для этого факторы, характеризующие результативный признак располагают в возрастающем или убывающем порядке (в зависимости от эволюции процесса и цели исследования), а затем прослеживают изменение величины результативного признака. Сопоставление и анализ расположенных таким образом рядов значений изучаемых величин позволяют установить наличие связи и ее направление. Зависимость между факторами и показателями может прослеживаться во времени (параллельные динамические ряды). Однако при небольшой взаимосвязи между переменными, если стандартизовать переменные и рассчитать уравнение регрессии для стандартизованных переменных, то оценки коэффициентов регрессии позволят по их абсолютной величине судить о том, какой аргумент в большей степени влияет на функцию. Стандартизация переменных. Бета коэффициенты. Коэффициенты в последнем уравнении получены при одинаковых масштабах изменения всех переменных и сравнимы. В случае взаимосвязи между аргументами в правой части уравнения могут происходить странные вещи. Надежность и значимость коэффициента регрессии. Здесь обозначен коэффициент детерминации, получаемый при построении уравнения регрессии, в котором в качестве зависимой переменной взята другая переменная. Из выражения видно, что величина коэффициента тем неустойчивее, чем сильнее переменная связана с остальными переменными. Эта статистика имеет распределение Стьюдента. В выдаче

1) в исследуемой группе наблюдается недостоверная обратная взаимосвязь между данными относительных значений PWC170 и времени челночного бега 3х10 м, т.к. rxy = -0,20 < rst = 0,55 для К= 11 при ?= 95%;

2) относительная погрешность функции ух = 7,875 - 0,05х меньше (7,22%), а, следовательно, прогноз результата в челночном беге по данным относительных значений пробы PWC170 более точен;

3) на графике линии уравнения регрессии расположены почти под прямым углом, так как значения коэффициента корреляции близки к нулю.[3]

Заключение

В исследуемой группе наблюдается недостоверная обратная взаимосвязь между данными относительных значений PWC170 и времени челночного бега 3х10 м, т.к. rxy = -0,20 < rst = 0,55 для К= 11 при ?= 95%;

- относительная погрешность функции ух = 7,875 - 0,05х меньше (7,22%), а, следовательно, прогноз результата в челночном беге по данным относительных значений пробы PWC170 более точен;

- на графике линии уравнения регрессии расположены почти под прямым углом, так как значения коэффициента корреляции близки к нулю.

Также в работе показана корреляционная зависимость показателей 32 российских банков, проведен регрессионный анализ и нашли регрессионную модель данной взаимосвязи показателей. Задача регрессионного анализа состоит в построении модели, позволяющей по значениям независимых показателей получать оценки значений зависимой переменной. Регрессионный анализ является основным средством исследования зависимостей между социально-экономическими переменными. Эту задачу мы рассмотрим в рамках самой распространенной в статистических пакетах классической модели линейной регрессии. Специфика социологических исследований состоит в том, что очень часто необходимо изучать и предсказывать социальные события. Вторая часть данной главы будет посвящена регрессии, целью которой является построение моделей, предсказывающих вероятности событий. Величина называется ошибкой регрессии. Первые математические результаты, связанные с регрессионным анализом, сделаны в предположении, что регрессионная ошибка распределена нормально с параметрами, ошибка для различных объектов считаются независимыми. Кроме того, в данной модели мы рассматриваем переменные как неслучайные значения. Такое, на практике, получается, когда идет активный эксперимент, в котором задают значения (например, назначили зарплату работнику), а затем измеряют (оценили, какой стала производительность труда).

Полученное уравнение y=245,75 1,42х позволяет проиллюстрировать зависимость размера работающих активов банков от размера их капитала.

И так, с помощью корреляционно-регрессионного анализа, можно исследовать показатели банков.[8]

Использованная литература

1. Аверкин А.Н., Батыршин И.З., Блишун А.Ф. и др. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта // Под ред. Д.А. Поспелова. - М.: Наука, 1986. - 312 с.

2. Аветисян Д.О. Проблемы информационного поиска: (Эффективность, автоматическое кодирование, поисковые стратегии) - М.: Финансы и статистика, 1981. - 207 с.

3. Айвазян С.А., Бежаева З.И., Староверов О.В. Классификация многомерных наблюдений. - М.: Статистика, 1974. - 240 с.

4. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Основы моделирования и первичная обработка данных. Справочное издание. - М.: Финансы и статистика, 1983. - 472 с.

5. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика: Исследование зависимостей: Справочник. - М.: Финансы и статистика, 1985. - 182с.

6. Айвазян С.А. , Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. - М. Юнити, 1998. - 1024 с.

7. Ван дер Варден Б.Л. Математическая статистика. - М.: Изд-во иностр. лит., 1960. - 302 с.

8. Гайдышев И.П. Анализ и обработка данных: специальный справочник. - СПБ.: Питер, 2001. - 752 с.

9. Гмурман В.С. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высш. шк., 1972. - 368 с.

10. Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика. - М.: Высш. шк., 2001. - 336 с.

11. Кендалл М., Стьюарт А. Теория распределений. - М.: Наука, 1966. - 566 с.

12. Кендалл М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. - М .: Наука, 1973. - 899 с.