Развитие математики в России в середине XVIII века - Автореферат

Во второй четверти XVIII века в России темпы развития торговли, промышленности, науки и культуры были гораздо меньшими, чем в первой четверти. Сказывалась продолжительная Северная война, а также частые дворцовые перевороты, приводившие к власти лиц, которым чужды были национальные интересы страны. Углублялась хозяйственная специализация отдельных районов страны (определились хлебные, скотоводческие районы и районы технических культур). В середине XVIII века помещики с целью повышения своих доходов начали заниматься предпринимательством - открывали промышленные предприятия по переработке сельскохозяйственного сырья. Однако основная масса дворян вела хозяйство по старинке, повышая доходы от своих имений, главным образом, путем жестокой эксплуатации крестьян.О содержании новых задач и новых трудностей, возникших перед математикой на рубеже XVII-XVIII веках и в первой половине XVIII века, можно судить по состоянию важнейших отраслей естествознания этого периода. Новые алгоритмы позволили получить с поразительной легкостью результаты, недоступные прежним методам, однако споры по вопросам обоснования исчисления бесконечно малых заставили, в частности весьма осторожного в своих публикациях Ньютона, отказаться от применения нового исчисления в ряже публикаций по механике. Создание аналитических методов настоятельно требовали новые задачи самой механики - исследование движения материальной точки в среде с заданной инертностью (движение физического маятника, баллистика), переход в этой задаче от точки к твердому телу и т.п. Динамические уравнения Эйлера, определяющие движение абсолютно твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, представляют собой нелинейную систему трех дифференциальных уравнений второго порядка относительно эйлеровых углов ?, ?, ?, как функций времени. Принципиальную недостаточность теории обыкновенных дифференциальных уравнений впервые обнаружил Даламбер и Эйлер при изучении малых колебаний струны, закрепленной на концах.В развитии математики, механики, физики и всего естествознания в России и западноевропейских странах XVIII века особую роль сыграли труды величайшего математика и механика XVIII века Леонарда Эйлера. Несмотря на то, что на протяжении предшествующих столетий механика и геометрия настоятельно ставили перед мыслителями задачи изучения зависимости между переменными величинами, понятие о взаимозависимости таких величин не получило аналитического выражения. Введя само слово «функция», Лейбниц начиная с 1692 года называет им отрезки любых прямых, связанных тем или иным образом с точками определенной величины - флюенты, по его терминологии, служит некоторая равномерно текущая величина, аналогичная времени. Непосредственным развитием определения Бернулли явилась трактовка Эйлера понятия функциональной зависимости в первом томе «Введение в анализ»: «Функция переменного количества есть аналитическое выражение составленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств». Кроме расширения области значений аргумента Эйлер сделал принципиальный шаг вперед в выяснении важнейших общих свойств функций как аналитических выражений.В 1755 году Петербургская академия наук опубликовала «Дифференциальное исчисление» Л. Эйлера. По содержанию, систематичности изложения и последовательности в развитии необходимых новых понятий и алгоритмов это сочинение можно поставить на одно из самых почетных мест во всей истории математического анализа. «Здесь же все изложение ограничено областью чистого анализа, так что для изложения всех правил этого исчисления не понадобилось ни одного чертежа», - указывает Эйлер в заключительной фразе своего предисловия. В основе дифференциального исчисления Эйлера лежит понятие бесконечно малой величины. Разъясняя понятия бесконечно малых и бесконечно больших величин, Эйлер стремится отвести упреки относительно принебрежения в анализе «геометрической строгостью».Широта содержания, необычайное богатство новых результатов, в подавляющем большинстве принадлежащих самому Эйлеру, проникновение в сложные вопросы теории дифференциальных уравнений, не только обыкновенных, но и в частных производных, - все это определило значение и роль трехтомного сочинения Эйлера в истории математического анализа. В понятие интегрального исчисления Эйлер, как и его современники, включал не только интегрирование функций, но и интегрирование дифференциальных уравнений, обыкновенных и в частных производных. В связи с этим три тома «Интегрального исчисления» содержат такие разделы: интегрирование функций, интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, интегрирование дифференциальных уравнений второго и высшего порядков, интегрирование уравнений с частными производными. В своем издании Эйлер указывает: «Интегральное исчисление должно быть распространено на разыскание функций двух или большего числа переменных, когда задано какое-нибудь соотношение между дифференциалами». Таким образом, задача ставится в плане решения любых дифференциальных уравне

Оглавление

1. Характеристика социально-экономического и культурного развития России в середине XVIII века

2. Новые задачи математики, обусловленные развитием техники и естествознанием

3. Развитие основных понятий математического анализа в XVIII века

4. Дифференциальное исчисление

5. Интегральное исчисление и теория обыкновенных дифференциальных уравнений

1. Характеристика социально-экономического и культурного развития России в середине XVIII века

1. История отечественной математики в четырех томах. Том 1.

Академия наук СССР