Разрешимость одной краевой задачи - Курсовая работа

Математические методы являются важнейшим инструментом анализа экономических явлений и процессов, построение теоретических моделей, позволяющих отобразить существующие связи в экономической жизни, прогнозировать поведение экономических субъектов. Математика как основа теории принятия решений широко применяется для управления (планирования, прогнозирования, контроля) экономическими объектами и процессами. В настоящее время методы математического моделирования находят все более широкое применение в решение прикладных экономических задач. Для отображения функционирования модели ставится краевое условие. Для достижения поставленной цели решены следующие задачи: 1) Введены необходимые понятия и утверждения теории функционального анализаМножество X элементов любой природы называется линейным или векторным пространством, если а) для любых 2-х элементов ставится в соответствие элемент , который называется суммой взятых элементов и обозначается б) для любого элемента и ставится в соответствие элемент , который называется суммой взятых элементов и обозначается . Конечный функционал называется нормой, если для любых 2-х элементов удовлетворяют аксиомы: а) б) в) Линейное пространство X, в котором определенна некоторая норма, называется нормированным пространством, норма обозначается . Если пространство X таково, что в нем каждая фундаментальная последовательность сходиться к элементу этого пространства, то оно называется банаховым или полным. Множество называется относительно компактным, если произвольная последовательность этого множества содержит подпоследовательность, которая сходится к элементу пространства X.Через L2=L2[a,b] обозначим совокупность всех классов интегрируемых функций по Лебегу с квадратом с нормой Это же пространство будет рассматривать как действительное гильбертово пространство со скалярным произведением, определяемым следующим образом: Отметим, что норма, порождаемая этим скалярным произведением, совпадает с исходной нормой. Через D2=D2[a,b] обозначим пространство абсолютно непрерывных функций таких, что Пространство D2[a,b] - является бахановым пространством относительно нормы Пространство H=D2[a,b] можно рассматривать как гильбертово пространство со скалярным произведением, определяемым следующим образом: Порождаемая норма этим скалярным произведением: Нормы и эквиваленты, т.е. существуют такие константы С1>0, C2>0, что выполняется . Обозначим через C[a,b] пространство непрерывных на отрезке [a,b] функций с нормой(1) имеет нетривиальное решение у (t) CL2 [a, b], удовлетворяющее краевым условиям Краевые условия содержат параметры ?i ?i которые можно зафиксировать различным образом. Вследствие этого оператор L в (2.4) должен маркироваться в зависимости от значений ?1, ?1, ?2, ?2, (например, ); с изменением этих значений меняется область определения оператора, а следовательно, и сам оператор. Если ?1=?2= 0, то соответствующие условия y(t1)=0, y(t2)=0 именуются краевыми условиями первого рода; условия y"(t1)=0, y"(t2)=0, называются краевыми условиями второго рода. Общие условия (2), записанные в виде у" (а) - у (а) = 0, у" (а) - у (а) = 0, называются краевыми условиями третьего рода.Можно считать общеизвестным, что обыкновенные дифференциальные уравнения играют исключительно важную роль как математические модели многих реальных явлений и процессов. (1) часто возникает так называемая начальная задача, или задача Коши, (Lx)(t) = f(t), x(0) = ?, где требуется найти функцию x(t), удовлетворяющую уравнению (6) и дополнительному начальному условию x(0) = ?. , для z(t) получаем уравнение которому можно придать вид Уравнение (3) называется линейным интегральным уравнением Фредгольма, а функция двух переменных K(t, s) - ядром этого уравнения. (Lx)(t) = f(t), (4) в которой второе уравнение принято называть краевым условием.Рассматриваем вопрос об условиях однозначной разрешимости функционально-дифференциальное уравнения второго порядка с отклоняющимся аргументом и с однородными краевыми условиями: (1) Функцию p(t) можно представить в виде разности 2-х функций, , (3) Благодаря равенству (3) исходная краевая задача (1)-(2) запишем следующим образом: Рассмотрим вспомогательную задачу Нужно отметить, что уравнение (6) мы рассматриваем в пространстве , а решение задачи (1), (2) - элемент пространства Тем не менее утверждение об эквивалентности верно, так как в силу свойств функции Грина значение оператора на непрерывной функции является элементом из Уравнение (6) рассматриваем в пространстве непрерывных функций и , то получаем ряд Неймана[3,с.187].Оператор - линейный ограниченный симметрический; имеет спектр в интервале ; - положителен, т. е. для любого имеет место неравенство : измерима по при каждом и непрерывна по при почти всех , и для любого найдется такая суммируемая с квадратом на функция , что если , то ; существуют такие числа , , , что для почти всех и для всех имеют место неравенства: ; , где . Решением задачи (1), (2) будем называть функцию , для которой выполнены условия (1)

Содержание

Введение

Глава 1. Вспомогательные утверждения и конструкции

1.1 Основные понятия и определения

1.2 Банаховы функциональные пространства

1.3 Функция Грина

1.4 Задачи, сводящиеся к интегральным уравнениям

Глава 2. Постановка краевой задачи и исследование ее однозначной разрешимости и отрицательности функции Грина

2.1 Признак существования решения краевой задачи для нелинейного функционально-дифференциального уравнения

2.2 Исследование разрешимости краевой задачи

2.3 Оценка нормы оператора

2.4 Исследование отрицательности функции Грина

2.5 Исследование разрешимости двухточечной краевой задачи

Заключение

Список использованных источников

Математические методы являются важнейшим инструментом анализа экономических явлений и процессов, построение теоретических моделей, позволяющих отобразить существующие связи в экономической жизни, прогнозировать поведение экономических субъектов.

Математика как основа теории принятия решений широко применяется для управления (планирования, прогнозирования, контроля) экономическими объектами и процессами. В настоящее время методы математического моделирования находят все более широкое применение в решение прикладных экономических задач.

Современные модели содержат в себе как настоящие, так и предыдущие состояния описываемого объекта. Основными методами исследования являются методы общей теории линейных функционально-дифференциальных уравнений, а также конструктивные методы исследования краевых задач. Для отображения функционирования модели ставится краевое условие.

Объектом исследования данной работы является однозначная разрешимость линейно функционально-дифференциального уравнения второго порядка с отклоняющимся аргументом и отрицательность функции Грина.

Целью работы является исследование однозначной разрешимости линейно функционально - дифференциальное уравнения второго порядка с отклоняющимся аргументом с однородными краевыми условиями и исследование отрицательности функции Грина. Для достижения поставленной цели решены следующие задачи: 1) Введены необходимые понятия и утверждения теории функционального анализа

2) Рассмотрена однозначная разрешимость нелинейной задачи

3) Доказана однозначная разрешимость линейной задачи и отрицательность функции Грина

Структура работы. Работа условно разделена на 2 главы. В первой главе приводятся необходимые теоретические сведения из специальных разделов функционального анализа. Во второй главе рассматривается разрешимость нелинейного функционально-дифференциального уравнения и доказывается однозначная разрешимость линейной краевой задачи и отрицательность функции Грина.