Разработка специализированной программы для компьютерного моделирования поверхности - Курсовая работа

В настоящее время благодаря доступности высокопроизводительной компьютерной техники и наличию эффективных специализированных программ мы имеем возможность широко использовать компьютерное моделирование геометрических объектов. Данная работа посвящена исследованию методов моделирования гладких поверхностей по заданным первой и второй квадратичным формам. Компьютерное моделирование поверхности реализуется с помощью современного мощного математического пакета Scilab. В качестве объекта исследования выбрана общая гладкая поверхность, что обусловлено, несколькими причинами. Во-вторых, разнообразными приложениями теории поверхности, которые рассмотрены в первой главе данной работы.Считая плоскость ориентированной, выберем в каждой точке кривой базис векторов v, n такой, что 1 и, в частности, так как параметр l натурален, то 2) вектор n ортогонален , имеет единичную длину и базис положительно ориентирован. · коэффициент k, входящий в (*), называется кривизной (плоской) кривой. Кривизна кривой определяет кривую с точностью до движений . (5) а кривизной (пространственной) кривой называется величина Кривизна позволяет определить, насколько данная кривая отличается от прямой.Образы прямых вида и называются координатными линиями на поверхности и задаются уравнениями или и каждой точке ставится в соответствие пара чисел , называемая криволинейными координатами. Сеть координатных линий поверхности, или координатная сеть, называется правильной в точке, если в этой точке выполнено условие . Будем называть поверхность - регулярной, если она обладает параметризацией , имеющей непрерывные частные производные порядка k, причем в каждой точке выполнено условие . Поверхность задана неявным уравнением , если координаты каждой ее точки P(x,y,z) удовлетворяют этому уравнению. Поверхности и , имеющие общую точку M, назовем пересекающимися трансверсально в точке M, если их касательные плоскости, проведенные в этой точке, пересекаются.Определение 2.5.1 Дробным интегралом степени т(1т) уравнения геодезических линий называется первый интеграл системы вида где С - произвольная постоянная, a , есть заданные тензоры, называемые базисами Іт. Определение 2.5.3 Ковариантный симметрический тензор называется геодезическим, если равенство справедливо вдоль всякой геодезической линии при условии, что оно справедливо хотя бы в одной ее точке. Теорема 2.5.1 Если неприводимая форма а является геодезической, то тензор имеет ковектор рекуррентности. Теорема 2.5.4 Если уравнение определяет 1т и хотя бы один из базисных тензоров имеет ковектор рекуррентности, то необходимо чтобы его базисы имели общий ковектор рекуррентности. Теорема 2.5.5 Для того чтобы при условии неприводимости хотя бы одной из форм р и q уравнение (79), (79) определяло Im, необходимо, чтобы его базисы имели общий ковектор рекуррентности.Будем говорить, что вдоль кривой L задана поверхностная полоса P={L,v}, с нормалью v(s). Вектор называется вектором геодезической нормали полосы P. Тройка векторов t, в каждой точке кривой L образует репер, поэтому производные этих векторов могут быть разложены по векторам этого репера: Дифференцируя равенства Функцию назовем геодезической кривизной полосы P и обозначим ; функцию назовем нормальной кривизной полосы P и обозначим ; наконец, функцию назовем геодезическим кручением полосы P и обозначим . Используя эти обозначения и равенства рассмотренные выше, получаем деривационные формулы Френе для поверхностной полосы P: Если вектор v колинеарен главной нормали кривой L, то из первой формулы Френе вытекает что .В данном параграфе приведены основные вычислительные формулы необходимые для моделирования поверхности в пространстве, которые в дальнейшем будут использоваться для компьютерного восстановлении поверхности. Если - геодезическая линия, то ее «обычное» пространственное кручение где - главные нормальные кривизны поверхности, а - угол между главным направлением и направлением, в котором проходит геодезическая линия, и из формулы видно, что только в главных направлениях. Рассмотрим геодезическую линию с начальными условиями: и уравнение этой линии где имеет место системаДанный параграф посвящен разработке технологии и созданию алгоритма восстановления поверхности по известным первой и второй квадратичным формам. Воспользуемся тем, что на гладкой кривой, лежащей на поверхности ее кривизну и кручение можно выразить через элементы первой и второй квадратичных форм. Для удобства, в качестве кривой можно рассмотреть геодезическую линию. Так как пространственная кривизна равна нормальной кривизне , а пространственное кручение равно геодезическому кручению , таким образом можно предложить следующий алгоритм восстановления поверхности.Итак, в результате выполнения данной работы была разработана технология и создан алгоритм восстановления геометрической поверхности по известным первой и второй квадратичным формам, а так же программа, способная производить численное моделирование геодезических линий по которым восстанавливается поверхность.

Содержание

Введение

Глава 1. Основные факты из теории кривых и поверхностей

1. Гладкие кривые

2. Гладкие поверхности

2.1. Определения. Параметрические уравнения

2.2. Первая квадратичная форма

2.3. Вторая квадратичная форма

2.4. Формулы Гаусса - Петерсона - Кодацци

2.5. Геодезические линии

2.6. Поверхностная полоса

Глава 2. Моделирование поверхностей, заданных первой и второй квадратичными формами

1. Основные вычислительные формулы

2. Описание метода моделирования геодезических линий при восстановлении поверхности

Заключение

Библиографический список

Приложение

При исследовании геометрических объектов важным фактором является возможность их наглядного представления. В настоящее время благодаря доступности высокопроизводительной компьютерной техники и наличию эффективных специализированных программ мы имеем возможность широко использовать компьютерное моделирование геометрических объектов.

Сейчас, в науке, имеется тенденция к очередной геометризации, модельности и, следовательно, к воспитанию навыков образного мышления.

Данная работа посвящена исследованию методов моделирования гладких поверхностей по заданным первой и второй квадратичным формам. Компьютерное моделирование поверхности реализуется с помощью современного мощного математического пакета Scilab. Данный пакет предоставляет обширные возможности по решению дифференциальных уравнений и по графическому представлению информации. Его важной особенностью является кросс-платформенность, то есть работа с разными операционными системами, а так же то, что он относиться к свободно распространяемому программному обеспечению.

Проблемой исследования является компьютерное моделирование поверхностей по заданным аналитическим условиям.

В качестве объекта исследования выбрана общая гладкая поверхность, что обусловлено, несколькими причинами. Во-первых, отсутствием удобных и оптимальных средств для моделирования поверхностей. Во-вторых, разнообразными приложениями теории поверхности, которые рассмотрены в первой главе данной работы. В-третьих, возможностью наглядного воспроизведения результатов численного моделирования.

Предмет: восстановление гладких поверхностей по заданным первой и второй квадратичным формам.

Цель исследования: разработка специализированной программы для компьютерного моделирования поверхности.

В соответствии с выделенными проблемой, объектом, предметом и целью исследования были поставлены следующие задачи исследования.

· Проанализировать специальную литературу по данной теме;

· Выделить и описать теоретическую базу необходимую для реализации поставленной цели;

· Проанализировать состояние современного опыта по теме исследования;

· Разработать специальную программу для моделирования поверхности в математическом пакете Scilab.

Для реализации поставленных целей и задач исследования применялись следующие методы исследования: · Изучение и анализ учебной и научной литературы по проблеме исследования;

· Анализ уже существующих разработок по проблеме исследования;

· Изучение методов программирования;

· Анализ различных подходов к решению задач и выбор по его результатам оптимального метода моделирования;

· Реализация математического моделирования в виде программы на встроенном языке пакета Scilab.

Работа состоит из двух глав, введения, заключения, приложения и обзора литературы. Первая глава состоит из двух параграфов и посвящена теоретическим вопросам, касающимся рассматриваемого объекта. В ней приводиться материал, относящийся к параметризации кривых, который в дальнейшем будет использоваться при построении геодезических линий на поверхности. В первом параграфе первой главы даны определения ключевым понятиям темы и указаны их свойства. Во-втором параграфе введены основные определения теории гладких поверхностей, выведены первая и вторая квадратичные формы. Основные определения параграфа взяты из учебника академика А.В. Погорелова «Дифференциальная геометрия» для университетов.

Вторая глава является основой работы и посвящена рассмотрению вопросов моделирования поверхности с заданными аналитическими условиями, а так же их визуализации с помощью математического пакета Scilab.

Итак, в результате выполнения данной работы была разработана технология и создан алгоритм восстановления геометрической поверхности по известным первой и второй квадратичным формам, а так же программа, способная производить численное моделирование геодезических линий по которым восстанавливается поверхность.

Была рассмотрена и систематизирована теоретическая информация, касающаяся теории кривых и поверхностей, а так же подобраны основные вычислительные формулы для восстановления поверхности в математическом пакете Scilab. Впоследствии эта информация может быть дополнена и использована для модификации и усовершенствования разработанной программы с целью ее ориентирования на восстановления других геометрических фигур в пространстве.

1. Алексеев, Е.Р. Scilab. Решение инженерных и математических задач / Е.Р. Алексеев, О.В Чеснокова., Е.А.Рудченко; Изд-во БИНОМЮ - М., 2008.

2. Бакельман, И.Я. Введение в дифференциальную геометрию «в целом» / И.Я. Бакельман, А.Л. Вернер, Б.Е. Кантор. - М., 1973.

3. Бляшке, В. Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна / В. Бляшке. - М., 1935.

4. Дробный интеграл геодезических линий в пространствах аффинной связности. (Редколлегия «Сиб. мат. ж.» Сиб. отд. АН СССР). Новосибирск, 1977. 21 с, Библиогр. 12 назв. (Рукопись деп. в ВИНИТИ 24 февр. 1977 г., № 722-77Деп.) (РЖМАТ, 1977, 7А656ДЕП)

5. Либер, А. Е. Первые целые алгебраические интегралы уравнений геодезических / Докл. АН СССР, 1941, 31, № 9.

6. Норден, А.П. Краткий курс дифференциальной геометрии / А.П. Норден; Изд-во Физматгиз. - М., 1958.

7. Погорелов, А.В. Дифференциальная геометрия / А.В. Погорелов; Изд-во Наука. - М., 1974.

8. Писарева, Н. М. О дробно-квадратичном интеграле геодезических линий пространства аффинной связности / Мат. сб., 1955, вып. 1, 169-200 (РЖМАТ, 1956, 6812.

9. Троицкий, Е.В. Дифференциальная геометрия и топология / Е.В. Троицкий; МГУ. - М., 2003.

10. Шапиро, Я. Л., О некоторых полях геодезических конусов / Докл. АН СССР, 1943, 39, № 1, 6-10

11. Об одном классе римановых пространств. Тр. семинара по векторн. и тензорн. анализу с их прилож. к геометрии, механ. и физ. Моск. ун-т, 1963, вып. 12,203-212.

Размещено на .ru