Разработка символьно-численных преобразований при интегрировании некоторых классов дифференциальных уравнений - Автореферат

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Работа выполнена в Белгородском государственном университете Научный руководитель: доктор физико-математических наук, ст. Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Владимир Федотович Пивень доктор физико-математических наук, профессор Анатолий Юльевич Захаров С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белгородского государственного университета по адресу: 308015, г.К таким уравнениям относятся, в частности, стационарное двумерное уравнение Шредингера (при решении для него задачи на собственные значения), и уравнение Навье-Стокса. Разработка новых методов, как аналитических, так и численных, и особенно символьно-численных, реализация этих методов в виде программных средств с использованием современной эффективной СКА MAPLE и использование этих программ для исследования ряда важных математических моделей классической и квантовой механики является актуальной проблемой математического моделирования сложных физических систем. задача дифференциальный интегрирование уравнение В диссертационной работе, на основе СКА, развиты метод самосогласованного базиса, с помощью которого найдены решения двумерного уравнения Шредингера с поверхностью потенциальной энергии с несколькими локальными минимумами, и метод обобщенных степенных рядов интегрирования линеаризованного при определенных условиях уравнения Навье-Стокса. Разработка алгоритмов и программ для символьно-численного решения задачи на собственные значения для операторов: а) двумерного инвариантного полиномиального гамильтониана, поверхность потенциальной энергии которого имеет два локальных минимума; б) двумерного инвариантного полиномиального гамильтониана, поверхность потенциальной энергии которого имеет в зависимости от набора параметров один или четыре локальных минимума, в) двумерного инвариантного полиномиального гамильтониана с пятиямным потенциалом; Символьно-численный метод самосогласованного базиса для решения задачи на собственные значения для двумерного инвариантного полиномиального гамильтониана, поверхность потенциальной энергии которого имеет два локальных минимума, программа и результаты конкретных численных расчетов собственных значений и собственных функций.В главе 1 представлены метод самосогласованного базиса решения задачи на собственные значения и метод интегрирования линейных дифференциальных уравнений при помощи обобщенных степенных рядов. В разделе 1.1 предложенный метод самосогласованного базиса описан для решения двумерного стационарного уравнения Шредингера , где потенциальная часть гамильтониана имеет произвольный полиномиальный вид. В главе 2 развит метод самосогласованного базиса, с помощью которого решена задача на собственные значения для дифференциального оператора: , (3) с двумя видами поверхностей потенциальной энергии (ППЭ) В разделе 2.1 методом самосогласованного базиса было решено двумерное уравнение Шредингера для симметричного полиномиального гамильтониана (3) с поверхностью потенциальной энергии (ППЭ) вида (4), параметры которого были выбраны так, что ППЭ имеет два локальных минимума и единственную седловую точку в начале координат (рис.1). Были вычислены нижайшие энергетические уровни гамильтониана (3), (4) с набором параметров (6) и (7) и волновые функции, некоторые из них представлены на рис.4-5. а) b)Разработан алгоритм и его программная реализация в среде Maple, проведены численные расчеты нижних уровней энергии и волновых функций для квантового аналога инвариантного двумерного гамильтониана с полиномиальным потенциалом, имеющим два локальных минимума и при единственном наборе параметров, при котором система является интегрируемой системы. Разработан алгоритм и его программная реализация, с помощью которой выполнены численные расчеты нижних уровней энергии для двумерной симметричной системы, ППЭ которой имеет четыре локальных минимума. Показано существование смешанных состояний, т.е. состояний, когда при одной и той же энергии в одном минимуме характер классического движения является хаотическим, а в другом локальном минимуме - регулярным. С использованием разработанного алгоритма и его программной реализации впервые исследована классическая динамика инвариантной двумерной системы, ППЭ которой имеет пять локальных минимумов. Впервые для квантового аналога классической инвариантной системы с пятью локальными минимумами обобщен метод самосогласованного базиса, на основе которого разработан алгоритм и его программная реализация, вычислены первые уровни энергии.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ