Разностные уравнения и их применение в экономике - Практическая работа

В последние десятилетия математические методы все настойчивее проникают в гуманитарные науки и в частности, в экономику. Благодаря математике и ее эффективному применению можно надеяться на экономический рост и процветание государства.Разностные уравнения играют большую роль в экономической теории. Многие экономические законы доказывают с помощью именно этих уравнений. Обозначим через значение в момент времени t; через - значение функции в момент, сдвинутый назад на единицу (например, в предыдущем часу, на предыдущей неделе и т.д.); через - значение функции y в момент, сдвинутый на две единицы назад, и т.д. Решить разностное уравнение n-го порядка - значит найти функцию , которая обращает это уравнение в верное тождество. Решение, в котором отсутствует произвольная постоянная, называется частным решением разностного уравнения; если же в решении есть произвольная постоянная, то оно называется общим решением.Подставляя в уравнение (4), получаем Найдем частное решение разностного уравнения (3), если f(t)=c, где c - некоторая переменная. , Подставив эти постоянные в уравнение получаем откуда Уравнение (7) называется характеристическим уравнением для уравнения (6). Если дискриминант характеристическое уравнение (7) больше нуля, то уравнение (7) имеет два разных действительных корня и , а общее решение однородного уравнения (6) имеет следующий вид: Общее решение неоднородного уравнения (5) таково: где - частное решение неоднородного уравнения (5), а и - произвольные постоянные, которые можно вычислить по начальным условиям, например y(0)= , y(1)= .В экономических науках в целях простоты модели, связанные с запаздыванием, записывают в виде разностных уравнений, то есть в виде уравнений с дискретным временем. Так, модель Самуэльсона-Хикса предполагает, что рост потребления запаздывает от роста национального дохода , т.е. что (1) где - предельная склонность к потреблению при увеличении текущего дохода на единицу (), а - автономное потребление. Поэтому, принимая решение об объеме инвестиций, они ориентируются на приращение национального дохода не в текущем, а в предшествующем периоде: (2) Уравнение (4) называется уравнением Хикса. При таких значениях предельной склонности к потреблению и акселератора решение уравнения Хикса неустойчиво и носит колебательный характер: возрастание сменяется быстрым убыванием, убывание - возрастанием.И в промышленном производстве предложение формируется на основе цены в предшествующий период. Таким образом, функция предложения сдвинута по времени относительно цены , т.е. будем полагать, что , в то время как функция спроса одномоментно отвечает цене: . Для простоты рассмотрим линейные зависимости спроса и предложения от цены: .(1) Поделив обе части этого равенства на и переходя для удобства на шаг вперед по времени, получаем линейное неоднородное разностное уравнение первого порядка относительно цены с постоянными коэффициентами: .(2) Пусть в начальный момент времени известна цена (задача Коши), тогда подстановкой в равенство (4) находим или , так что в окончательном виде получаем или .(5)В этой модели предполагаются запасы товара как разность между предложением и спросом . Спрос и предложение представляют собой линейные функции от текущей цены : .(1) Цена, устанавливаемая на рынке, зависит от объема запаса продукции на предшествующий период, причем разница в ценах во времени пропорциональна относительной величине запаса с некоторым коэффициентом (при наличии запаса цена на товар в последующий период падает): .(2) Подстановка соотношений (1) в (2) приводит к линейному разностному уравнению первого порядка с постоянными коэффициентами относительно цены : или .(3) Пусть - значение цены в начальный момент времени , тогда решение этого уравнения имеет вид или .(4)В реальности продукт, предназначенный для внутреннего и конечного потребления в период , определяется не текущим выпуском, а выпуском в последующий период . Как и прежде, введем вектор валового выпуска , матрицу прямых затрат и вектор конечного потребления . Теперь задача формулируется следующим образом: при заданном векторе конечного потребления и матрице определить динамику (изменение во времени) вектора валового выпуска . Одна из основных задач прогноза с использованием динамической модели Леонтьева такова: известны динамика вектора конечного потребления и вектор валового выпуска в начальный момент времени ; требуется рассчитать вектор валового выпуска на момент времени . Пусть известны продуктивная матрица , а также заданные в момент времени векторы валового выпуска и , указанные в этой таблице: Требуется рассчитать вектор валового выпуска на момент времени , если все компоненты вектора конечного потребления увеличиваются на за каждый период.

План

Введение

Глава 1. Разностные уравнения

§ 1. Основные понятия и примеры разностных уравнений

§ 2. Решение разностных уравнений

Глава 2. Применение аппарата разностных уравнений в экономической сфере

§ 1. Модель экономического цикла Самуэльсона-Хикса

§ 2. Модель рынка с запаздыванием сбыта

§ 3. Рыночная модель с запасами

§ 4. Динамическая модель Леонтьева

Выводы

Литература

В последние десятилетия математические методы все настойчивее проникают в гуманитарные науки и в частности, в экономику. Благодаря математике и ее эффективному применению можно надеяться на экономический рост и процветание государства. Эффективное, оптимальное развитие невозможно без использования математики.

Целью данной работы является изучение применения разностных уравнений в экономической сфере общества.

Перед данной работой ставятся следующие задачи: определение понятия разностных уравнений; рассмотрение линейных разностных уравнений первого и второго порядка и их применение в экономике.

При работе над курсовым проектом были использованы доступные для изучения материалы учебных пособий по экономике, математическому анализу, работы ведущих экономистов и математиков, справочные издания, научные и аналитические статьи, опубликованные в Интернет - изданиях.

1. Красс М. С. Математика для экономических специальностей: Учебник. -М.: ИНФРА-М, 1998.- 464 с.

2. Беллман Р., Кук К. Л. Дифференциально-разностные уравнения: М.: Издательство «Мир», 1967

3. П. В. Конюховский, А. С. Налетова. Построение моделей динамики выпуска продукции фирмы на основе линейных разностных уравнений второго порядка/Вестник Санкт-Петербургского университета, 2005. Сер.5. Вып.4

4. Дыхта В. А. Динамические системы в экономике. Введение в анализ одномерных моделей. Учебное пособие. Иркутск: Издательство БГУЭП, 2003.-173с.

5. Ахтямов А. М. Математика для социологов и экономистов: Учебное пособие. - М.:ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 464 с.

Размещено на