Разностные схемы для уравнения переноса на неравномерных сетках - Дипломная работа

В этом смысле теория разностных схем - это раздел вычислительной математики, изучающий методы приближенного решения дифференциальных уравнений путем их замены конечно-разностными уравнениями (разностными схемами). 2.Важной характеристикой разностной схемы, устанавливающей ее связь с исходным дифференциальным уравнением, является погрешность аппроксимации, определенная как величина невязки, возникающей при подстановке в разностную схему решение исходной задачи. От того, в каком смысле данная схема аппроксимирует задачу, зависит выбор метода исследования точности схем и тип априорных оценок, выражающих устойчивость по правой части.Для численного решения задач по дифференциальным уравнениям методом сеток (конечных разностей) необходимо проделать следующее. Область непрерывного изменения аргумента (аргументов) искомой функции заменяется конечным дискретным множеством точек ,называемых узлами сетки. Таким образом, сущность метода сеток, в настоящее время самого универсального решателя дифференциальных уравнений, состоит в замене исходных дифференциальных задач системами алгебраических уравнений, их приближенно заменяющими. Если при измельчении шагов сетки решение разностной схемы сходится к решению исходной дифференциальной задачи, то за решение исходной задачи принимается решение разностной схемы.Для построения разностной схемы необходимо построить сетку Gh-конечное множество точек, принадлежащих G, плотность распределения которых характеризуется параметрами h-шагом сетки. Множество точек xi=i•h, называется равномерной сеткой на отрезке 0?x?1 и обозначим ={xi=i•h, i=0,n} , а число h-расстояние между точками (узлами) сетки называется шагом сетки. Если hi?hi 1 хотя бы в одной точке, то сетка называется неравномерной и такую сетку обозначают w .Функция y=y(xi) дискретного аргумента xi называется сеточной функцией, определенной на сетке . Сеточные функции можно рассматривать как функции целочисленного аргумента, являющегося номером узла сетки, т. е. y=y(xi)=y(i). Поэтому и сеточные функции yh(x) зависят от параметра h. Таким образом, в методе сеток пространство H, заменяется пространством Hh сеточных функций yh(x). Каждой функции ставится в соответствие сеточная функция yh(x), x wh, так что yh=Phu Hh, где Ph-линейный оператор из H в Hh.Пусть имеем дифференциальный оператор Этот оператор можно аппроксимировать несколькими способами. При у=1 из (6) получаем аппроксимацию (3); при у=0 - аппроксимацию (4), а при у=0.5-аппроксимацию (7). Чтобы показать погрешность аппроксимации, разложим по формуле Тейлора предполагая, что функция v(x) достаточно гладкая в некоторой окрестности (x-h0,x h0) точки х, h<h0,h0-фиксированное число. Говорят, что разностный оператор Lh: 1) аппроксимируем дифференциальный оператор L в узле xi wh, если , где v(x)-достаточно гладкая функция, стремится к нулю при h>0;Как правило, дифференциальное уравнение решается с некоторыми дополнительными условиями - начальными (задача Коши), краевыми (краевая задача) либо и с начальными, и с краевыми условиями (смешанные задачи). Эти дополнительные условия при переходе к разностным уравнениям надо так же аппроксимировать. Пусть имеем некоторую дифференциальную задачу, записанную в виде Введем в области Г сетку и поставим в соответствие задаче (8), (9) разностную задачу Таким образом, мы рассматриваем не одну разностную задачу, а семейство задач, зависящее от параметра h.(13) и на сетке аппроксимируем ее разностной схемой Задача (12), (13) поставлена корректно, если выполнены условия: 1) задача однозначно разрешима при любых правых частях Говорят, что разностная схема (14), (15) корректна, если при всех достаточно малых ¦h¦< h0: 1) решение yh разностной схемы существует и единственно для всех входных данных f h Hh, цh Hh; Свойство 2), означающее непрерывную зависимость, равномерную относительно h, решения разностной схемы от правых частей, называется устойчивостью разностной схемы. Задачу (18) аппроксимируем на равномерной сетке = {xi=ih, i=0,n} схемой: (19)Рассмотрим погрешность решения разностной схемы (14), (15), которая аппроксимирует на сетке дифференциальную задачу (12), (13). Введем функцию погрешности решения zh = yh-uh, где yh - решение схемы (14), (15), uh-решение задачи (12), (13) на сетке wh. Функции (28) называются погрешностью аппроксимации задачи (12), (13), схемой (14), (15) на решение задачи (12), (13). Разностная схема сходится со скоростью О(hn) или имеет n-ый порядок точности, если при достаточно малом h ? h0 выполняется неравенство Из оценки (28) видно, что порядок точности схемы (14), (15) определяется порядком аппроксимации, и чтобы схема сходилась со скоростью O(hn), n>0 достаточно, чтобы она имела аппроксимацию того же порядка, т.е.

Содержание

Введение

Глава I. Основные понятия разностных схем

1.1 Сеточная область

1.2 Сеточная функция. Пространство сеточных функций. Нормы сеточных функций

1.3 Аппроксимация дифференциальных операторов

1.4 Разностная схема

1.5 Корректность разностной схемы

1.6 Аппроксимация и сходимость

1.7 Неравномерная сетка

1.7.1 Построение сеточной области

1.7.2 Формирование сетки

Глава II. Одномерное уравнение переноса с переменными коэффициентами

2.1 Постановка задачи

2.2 ”Явные” схемы

2.3 Неявные схемы

2.3.1 Центрально-разностная схема

2.3.2 Трехточечная схема с весом

Глава III. Одномерное уравнение переноса с постоянными коэффициентами

3.1 Постановка задачи

3.2 Схема бегущего счета

3.3 Неявные схемы

3.3.1 Центрально-разностная схема

3.3.2 Трехточечная схема весом

3.3.3 Схема “прямоугольник”

3.3.4 Схема со сглаживанием

3.3.5 Схема прямоугольник со сглаживанием

3.3.6 “Шахматная ” схема

Заключение

Использованная литература

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

Приложение 4

Приложение 5

Приложение 6

Вычислительную математику в узком смысле понимают как теорию численных методов и алгоритмов решения широкого круга математических задач.

В этом смысле теория разностных схем - это раздел вычислительной математики, изучающий методы приближенного решения дифференциальных уравнений путем их замены конечно-разностными уравнениями (разностными схемами).

Разностная схема должна удовлетворять следующим основным требованиям: 1.Определенный порядок аппроксимации, устойчивость экономичность, консервативность, однородность.

2.Важной характеристикой разностной схемы, устанавливающей ее связь с исходным дифференциальным уравнением, является погрешность аппроксимации, определенная как величина невязки, возникающей при подстановке в разностную схему решение исходной задачи.

От того, в каком смысле данная схема аппроксимирует задачу, зависит выбор метода исследования точности схем и тип априорных оценок, выражающих устойчивость по правой части.

Устойчивость является внутренним свойством разностной схемы, которая изучается независимо от аппроксимации и сходимости.

Объектом исследования выбраны разностные схемы, аппроксимирующие исходную задачу.

Цель дипломной работы - выбор наиболее устойчивой разностной схемы.

Для достижения цели поставлены следующие задачи: - рассмотреть разностные методы решения для уравнений переноса с переменными и постоянными коэффициентами на неравномерных сетках;

- выполнить численный эксперимент рассматриваемых схем.